Quadriláteros - 2003 - Vol 4 ⇒ Problema 55 - Quadrilateros -Vol. 4 Tópico resolvido

[petrasMOD]

ABCD é um trapézio. Se EC = AD e ED = DF calcular x^o.

Resposta

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Gabarito: C) 30^o

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[tex3]
G\text{ tal que }AEGD\text{ paralelogramo}\implies EG=AD=EC\\
EG=EC\text{ e }\angle GEC=2\alpha\implies \angle GEC=\angle ECG=\frac{\pi}{2}-\alpha\\
I\text{ tal que }ECID\text{ paralelogramo }\implies \angle CED=\angle CID=\frac{\pi}{2}-\alpha\text{ e }\angle ECI=\angle EDI=\frac{\pi}{2}+\alpha\\
\angle GCI= \angle ECI-\angle ECG=2\alpha\implies \angle IGC=\pi-\angle GCI-\angle CIG=\pi-2\alpha-\frac{\pi}{2}+\alpha=\frac{\pi}{2}-\alpha=\angle GCI\implies CI=CG\implies CG=ED\\
CG=ED \implies ECGD \text{ trapezio isósceles}\implies ECGD \text{ cíclico}\implies (\angle ECD=\angle EGD\text{ ou seja } x=2\alpha)\text{ e }(EG=CD\text{ ou seja }CE=CD)\\
O\text{ intersecção das diagonais do trapézio:} \angle OEC=\angle EOC=2\alpha\implies \angle COE=\pi-4\alpha\text{ e }\angle KOC=4\alpha,\text{ com }K\text{ intersecção da bissetriz de }\angle GCI\text{ com }(AG)\\
\text{Notemos que }\angle ECK=\angle ECI - \alpha=\frac{\pi}{2}-\alpha+\alpha=\frac{\pi}{2}\\
J\text{ a projecção ortogonal de }C\text{ em }(AD)\text{ e }L\text{ ponto de }(AJ)\text{ tal que }\angle LDJ=2\alpha\,;\,\angle LDC=6\alpha\\
\text{Temos }\triangle ECK \equiv\triangle CDL\implies \angle ECK=6\alpha\,\text{ e então }\alpha=\frac{1}{6}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{12}=15°\implies x=30°
[/tex3]

[petrasMOD]

@rcompany

Excelente...agora resta apenas o n.80