Olimpíadas ⇒ (OIM 1994/2) Quadrilátero Inscritível e Semicircunferência Tópico resolvido

[EsleyPires]

(OIM-1994/2) Seja [tex3]ABCD[/tex3] um quadrilátero inscritível. Suponha que existe uma semicircunferência com centro em [tex3]AB[/tex3], tangente aos outros três lados do quadrilátero.

• Demonstrar que [tex3]AB = AD+BC[/tex3].

• Calcular, em função de [tex3]x = AB[/tex3] e [tex3]y = CD[/tex3], a área máxima que pode alcançar um quadrilátero satisfazendo as condições do enunciado.

Obs.: Tentei transformar a semicircunferência numa circunferência e então criar uma reta paralela à AB que tange-a de modo a formar um quadrilátero [tex3]A'B'CD[/tex3], porque daí [tex3]A'B'CD[/tex3] é inscritível e ao mesmo tempo circunscritível e podemos usar o teorema de Pitot. Entretanto, não cheguei muito longe.

[geobson]

@EsleyPires , segue

(solução e desenho de Igor)
item a:

i) Seja O' o centro da semicircunferencia e M, N e P seus pontos de tangência com ABCD, Seja também CN e CM iguais a "a" e ND e NP iguais a "b". Como ABCD é inscritível, se ∠ABD = 2𝛂 então ∠DCA = 180°−2𝛂, e como NCMO' é simétrico então ∠O'CM = 90°−𝛂 e ∠CO'M = 𝛂.

ii) Do ΔCMO' temos que tg𝛂 = a/r. Daí usando a fórmula do arco duplo tg2𝛂 = 2ar/(r²−a²). Como ∠O'BP = 2𝛂 então concluímos que PB = (r²−a²)/2a. De maneira analoga podemos provar que MA = (r²−b²)/2b.

iii) Aplicando o teorema de Pitágoras nos ΔO'BP e ΔO'AM temos que O'B = (r²+a²)/2a e O'A = (r²+b²)/2b e com isso é fácil perceber que AC + BD = AB.

item b:

i) Seja AC = z e BD = (x-z). Como ABCD é inscritível então vale o Teorema de Brahmagupta.

ii) p = (2x+y)/2. Pela desigualdade das médias temos que:

[(p-x)+(p-y)+(p-z)+(p-x+z)]/4

≥ √S (pela fórmula de Brahmagupta),

p - (2x+y)/4 ≥ √S,

(2x+y)/4 ≥ √S,

(2x+y)^2/16 ≥ S.

Logo S(máx) = (2x+y)^2/16.

[geobson]

Pequena correção ao item “B” do problema;



Item b:

Se (p-z) = (p-x+z) → z = x/2.

Se (p-x) = (p-y) → x = y,

Para que a M.A. seja igual a M.G. todos os números analisados devem ser iguais, porém (p-x) não pode ser igual a (p-z) pois dessa maneira x = z o que é absurdo já que x > z, logo devemos aplicar "pesos" a esses números para equilibrar isso.

p = (x+y+z+x-z)/2 = (x+x+x)/2 = 3x/2. Logo:

A(p-x) = B(p-z) (A e B naturais),

A(x/2) = Bx, logo A = 2 e B = 1.

Daí:

[2(p-x)+2(p-y)+(p-z)+(p-x+z)]/4 ≥ √(2S),

[3p/2 - (3x+2y)/4] ≥ √(2S),

[3(2x+y)/4 - (3x+2y)/4] ≥ √(2S),

(3x+y)/4 ≥ √(2S),

(3x+y)^2/32 ≥ S.

Logo S(máx) = (3x+y)^2/32.

[geobson]

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