Pré-Vestibular ⇒ (EPUSP) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ViniciusHarlock]

Dados dois pontos A(a. 0) e B(0, b), tomemos sobre a reta AB um ponto C de modo que BC=m.AB (m diferende de zero e real). Pede-de a equação da reta perpendicular a AB, a qual passa pelo ponto médio de segmento AC.

Meus cálculos deram
[tex3]2ax-2by+(b^2-a^2)(m+1)=0[/tex3]
Estou certo ou errado?

[jacobi]

k = -b/a ( COEFICIENTE ANGULAR )
t = a/b ( coeficiente angular da reta perpendicular )
xM = a/2
yM = b/2

Logo, a/b = (y - b/2)/(x - a/2)
Daí, ax - a²/2 = by - b²/2
2ax - a² = 2by - b²
2ax - 2by + b² - a² = 0

[ViniciusHarlock]

Olá jacobi, sua resposta não faz sentido.

[jacobi]

Ela faz sentido sim, pois calculei a reta perpendicular no ponto médio de AB. Mas, o problema pediu de AC.
Vou refazer agora mesmo.
BC/xC = AB/a --> xC = am
BC/(b - yC) = AB/b --> yC = b - bm
Daí, o ponto M, médio de AC, é:
xM = (am + a)/2 = a(m + 1)/2
yM = (b - bm + 0)/2 = b(1 - m)/2

O coefiicente angular da reta dada é: = -b/a
t = a/b ( coeficiente angular da reta perpendicular )

Logo, a/b = [y - b(1 - m)/2]/[x - a(m + 1)/2]
ax - a²(m + 1)/2 = by - b²(1 - m)/2
2ax - a²(m + 1) = 2by - b²(1 - m)
2ax - 2by + b²(1 - m) - a²(m + 1) = 0
Cheguei nesse resultado. A sua resposta é a correta?

[glourenco]

Também encontro 2ax - 2by + b²(1-m) - a²(m+1) = 0
Mas o gabarito diz que é 2ax - 2by + b²(1+m) - a²(1-m) = 0

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Resolvendo o tópico:

Seja
A (a, 0)
B (0, b)
BC = m AB

[tex3]m=\frac{BC}{AB}
\\ Xc= -am \\
Yc = b(1+m)[/tex3]

Seja M o ponto médio de AC

[tex3]X(M)=a(1-m)/2 \\
Y(M) = b(1+m)/2[/tex3]

O coeficiente angular da reta que queremos é a/b (condição de perpendicularidade com a reta AB)

Basta jogarmos X(M), Y(M) e a/b na equação (y-yo)=m(x-xo)

Chegamos no gabarito

[tex3]2ax-2by+b^2(1+m)-a^2(1-m)=0[/tex3]