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Finalmente o último problema..

Calcular x^o

Enfim a solução do "último sobrevivente". Provavelmente postarei um novo livro referente a pontos notaveis.
Grato a todos que participaram desse solucionário que ficará um material muito rico para consulta.

∡BAC=∡ABD=45^∘−x,
[tex3]∡DBC=90∘+x,\\
∡BCA=x,\\
∡ACD=45^∘−2x,\\
∡BDC=45^∘\\
∡CAD=2x\\
T. Ceva ~Trigonométrico_{(ABCD)} :
\sen (45^∘−x)\sen x \sen 45∘\sen 2x=\sen (45^∘−x)\sen (90^∘+x)\sen (45^∘−2x)\sen 90^∘[/tex3]

Lado Esquerdo (LE):
[tex3]LE = \sen(45^\circ - x) \sen x \sen 45^\circ \sen 2x[/tex3]
[tex3]\sen 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \sen(45^\circ - x) \sen x \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \sen 2x[/tex3]

Lado Direito (LD):
[tex3]LD = \sen(45^\circ - x) \sen(90^\circ + x) \sen(45^\circ - 2x) \sen 90^\circ[/tex3]
[tex3]\sen (90^\circ + x) = \cos x ~e~ \sen 90^\circ = 1\cdot [/tex3] Substituindo estes valores:
[tex3]LD = \sen(45^\circ - x) (\cos x) \sen(45^\circ - 2x) [/tex3]

Igualando o Lado Esquerdo e o Lado Direito:
[tex3]\sen(45^\circ - x) \sen x \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \sen 2x = \sen(45^\circ - x) \cos x \sen(45^\circ - 2x)[/tex3]
Se [tex3]\sen(45^\circ - x) \neq 0[/tex3], podemos dividir ambos os lados por [tex3]\sen(45^\circ - x)[/tex3]:
[tex3]\sen x \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \sen 2x = \cos x \sen(45^\circ - 2x)[/tex3]
[tex3]\sen x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \sen 2x = \sen(45^\circ - 2x) \cos x[/tex3]

Lado Esquerdo (LE):
[tex3]LE = \frac{1}{\sqrt{2}} \sen x (2 \sen x \cos x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \sen^2 x \cos x = \sqrt{2} \sen^2 x \cos x[/tex3]

Lado Direito (LD):
[tex3]LD = (\sen 45^\circ \cos 2x - \cos 45^\circ \sen 2x) \cos x = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sen 2x\right) \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos 2x - \sen 2x) \cos x[/tex3]

Agora, igualamos o Lado Esquerdo e o Lado Direito:
[tex3]\sqrt{2} \sen^2 x \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos 2x - \sen 2x) \cos x[/tex3]

Se [tex3]\cos x \neq 0[/tex3], podemos dividir ambos os lados por cos x:
[tex3]\sqrt{2} \sen^2 x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos 2x - \sen 2x)[/tex3]
Multiplicando ambos os lados por [tex3]\sqrt{2}[/tex3]:
[tex3]2 \sen^2 x = \cos 2x - \sen 2x[/tex3]
cos2x = [tex3]\cos ^2x-\sen ^2x[/tex3]
Portanto :
[tex3]3\sen ^2x+2 \sen x \cos x −\cos ^2x=0 \implies (3\sen x -\cos x )(\sen x +\cos x ) = 0\\

3\sen x −\cos x =0 \therefore
\cancel{\tan x = -1}(x < 90^o )\\
\tan x=\frac{1}{3} \therefore \boxed{x = \frac{37^o}{2}}[/tex3]
[/tex3]

(Solução: Michael Rozenberg-adaptada)

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