Circunferência - 2003 - Vol. 5 ⇒ Problema 35 - Circunferência -Vol. 5 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Calcular x^o sendo T ponto de tangência.

Resposta

---

Gabarito: E) 26^o30'

[geobson]

……………………………………………………………..

[petrasMOD]

Se [tex3]x+\theta =45^o [/tex3] e x = 45^o então [tex3]\theta = 0^o[/tex3]???

Tem algo errado..segue o Geogebr comprovando o gabarito

[rcompany]

[tex3]H\text{ o ponto de intersecção de }(AC)\text{ com }(BT)\\
\underline{\bullet \,\angle HO'T=\angle CBH}\\
\angle BCA=90°\text{(lado AB diâmetro do círculo circunscrito de $\triangle ABC$)}
\angle BTO'=90°\,((BT)\text{ tangente ao círculo em }T)\\
BC=BT\,((BC)\text{ também tangente ao círculo em }C)\\
O'C=O'T\\
\therefore \triangle BO'C\equiv \triangle BO'T\\
\text{e então }\angle TO'B=\angle BO'C=90-\frac{1}{2}\cdot \angle CBH\\
\angle HO'T=180-\angle TO'B-\angle BO'C=180-2\cdot (90-\frac{1}{2}\cdot \angle CBH)=\angle CBH\\
\underline{\bullet \,\triangle BCH\text{ pitagórico 3-4-5}}\\
\triangle O'TH \sim \triangle BCH\text{ com razão }2 \text{ já que }CB=CA=2\cdot O'C=2\cdot O'T \\
\therefore BH=2\cdot O'H\\
BH=2\cdot O'H\implies AH=\frac{BH}{2}-O'C\implies HC=O'C+\frac{BH}{2}\\
\begin{array}{rl}BH^2=BC^2+CH^2&\implies BH^2=4\cdot O'C^2+(O'C+\dfrac{BH}{2})^2\\&\implies \dfrac{3}{4}BH^2-O'C\cdot BH-5\cdot O'C=0\\&\implies BH=\dfrac{10}{3}O'C\\&\implies \dfrac{BC}{BH}=\dfrac{2\cdot O'C}{\dfrac{10}{3}\cdot O'C}=\dfrac{3}{5}\end{array}\\
\therefore \triangle BCH\text{ pitagórico 3-4-5, o que implica que }\angle CBH=53°\\
\underline{\bullet\,\angle ACT=26,5°}\\
\angle HO'T=\angle CBH=53°\implies \angle ACT=\frac{1}{2}\cdot \angle HO'T\text{(ângulo no centro)}\implies \angle ACT=26,5°[/tex3]

[geobson]

…………………………………………………………………..

[petrasMOD]

Triângulo APB é isosceles ⟹∠PBA=∠PAB=x
.
Pelo teorema de Tales: [tex3]∠ANB=\frac{π}{2}⟹∠ABN=\frac{π}{2}−∠BAN=\frac{π}{2}−x\\

∠QBP=∠QBA−∠PBA=\frac{π}{4}−x\\
∠QBN=∠ABN−∠ABQ=(\frac{π}{2}−x)−\frac{π}{4}=∠QBP\\

T.Bissetriz: \frac{BN}{BP}=\frac{QN}{QP}=12⟹∠NPB=\frac{π}{6}\\

T.Ângulo~Externo ∠NPB=2x⟹x=\frac{1}{2}∠NPB=\frac{π}{12}(=15^∘)[/tex3]

A figura abaixo ajuda a compreender porque BQ é bissetriz de ∠PBN
(O ângulo NBT=x não usado acima esta mostrado).
(Solução:user)