Ensino Médio ⇒ equação biquadrada: conjunto solução genérico

[Argean]

A questão abaixo foi retirada do TQM, mas pode estar com algum problema de digitação (assim como várias), pois não especifica o conjunto universo.

CN) Dada a equação: [tex3](x^{2}+1)^{2}[/tex3] + [tex3](x^{2}+3x -17)^{2}[/tex3] = 0, pode-se afirmar que, no universo dos números o seu conjunto solução:

a) é vazio.
b) tem apenas um elemento.
c) tem apenas dois elementos.
d) tem apenas três elementos.
e) tem apenas quatro elementos

Resposta

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a

Minha análise levou a concluir por letra E (errado?), já que existem raízes em ambas as equações (sendo complexas para a primeira equação e não há restrição para o universo complexo). Desse modo, a soma das equações com resultado zero seria possível para as raízes encontradas (4 raízes = 4 elementos). Talvez tenha faltado a informação "universo dos numeros reais". Como há muitos gabaritos errados nessa publicação, gostaria de pedir uma ajuda na resolução.

[Usuário Excluído 30973]

Tanto no conjunto dos reais, como no conjunto dos não reais, não tem solução.

Perceba que para a equação ser válida, devemos ter (x²+1)^2=0 e (x²+3x-17)^2=0.
Considerando o conjunto dos reais, o conjunto solução é vazio. A segunda equação apresenta soluções reais, mas nenhuma satisfaz a primeira.
Agora, considerando o conjunto dos não reais, teríamos como soluções para a 1a equação, +i e -i, mas veja que elas não satisfazem a segunda equação.
Assim, não tem nenhum número real ou não real que satisfaça a equação. Fica letra a), independentemente do universo de números considerado.

Acho que é isso.

[Argean]

@gibbs , vc quer dizer que, para este problema as raízes de uma equação devem satisfazer a outra equação? Ou seja, não posso analisar o resultado de cada equação isoladamente?