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No triângulo ABC, o circuncentro é "O" e o circunraio mede 6m.
Se traçam a altura BH e a bissetriz interna BM a qual intercepta en F a OH.
Se: BH = 8m e OF = 2m, calcular HF.

**A bissetriz interna de um vértice de um triângulo (BM) também bissecta o ângulo formado pela altura que parte desse vértice (BH) e o raio do círculo circunscrito que vai para esse vértice (OB).
Portanto BM é a bissetriz do ângulo [tex3]\angle OBH[/tex3].


[tex3]\triangle OBH:
\frac{OF}{HF} = \frac{OB}{BH}\\
\frac{2}{HF} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\\
3 \times HF = 2 \times 4 \therefore \boxed{HF = \frac{8}{3} m}[/tex3]

**Sejam A, B, C os ângulos internos do triângulo.

1. [tex3]\angle OBC[/tex3]
No triângulo [tex3]\triangle OBC[/tex3], OB = OC = R. Portanto, [tex3]\triangle OBC [/tex3] é isósceles.
[tex3]\angle BOC = 2A.[/tex3]
[tex3]\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ.[/tex3]
[tex3]2 \times \angle OBC + 2A = 180^\circ\\
\angle OBC = (180^\circ - 2A)/2 = 90^\circ - A[/tex3]

2. [tex3] \angle HBC[/tex3]
No triângulo retângulo [tex3]\triangle BHC[/tex3] (já que BH é altura, [tex3]\angle BHC = 90^\circ[/tex3]), a soma dos ângulos é [tex3]180^\circ[/tex3]:
[tex3] \angle HBC + \angle BHC + \angle BCH = 180^\circ\\
\angle HBC + 90^\circ + C = 180^\circ \implies \angle HBC = 90^\circ - C.[/tex3]

3. [tex3]\angle OBM[/tex3]:
[tex3]\angle OBM = |\angle OBC - \angle CBM|[/tex3]. (A ordem depende se a bissetriz está entre OB e BC ou não, mas a magnitude é a mesma).
[tex3]\angle OBM = |(90^\circ - A) - (\frac{B}{2})|[/tex3]

4. [tex3] \angle HBM\\
\angle HBM = |\angle CBM - \angle HBC|\\
\angle HBM = |(\frac{B}{2}) - (90^\circ - C)|[/tex3]

5. Comparando [tex3]\angle OBM ~e~~ \angle HBM[/tex3]
Para que BM seja a bissetriz de [tex3]\angle OBH$,[/tex3] devemos ter [tex3]\angle OBM = \angle HBM$.[/tex3]
[tex3](90^\circ - A) - \frac{B}{2} = \frac{B}{2} - (90^\circ - C) \implies 180^\circ = A + B + C.[/tex3]
Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é [tex3]180^\circ (A+B+C = 180^\circ)[/tex3], a igualdade [tex3]180^\circ = A+B+C[/tex3] é sempre verdadeira.
Isso prova que [tex3]\angle OBM = \angle HBM[/tex3] para qualquer triângulo.