Física II ⇒ Ondulatória

[Usuário Excluído 30973]

Uma corda vibrante de comprimento l, presa em ambas as extremidades, está vibrando em seu n-ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado por:

[tex3]y_n(x,t)=b_n\cdot \sen \(\frac{n\cdot\pi\cdot x}{l}\)\cdot \cos \(\frac{n\cdot\pi\cdot v\cdot t}{l}+\delta_n\)[/tex3]

Calcule a energia total de oscilação dessa corda.

Resposta

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[tex3]E_n=\pi^2\mu lf_n^2b_n^2[/tex3]

[jpedro09]

@gibbs, como a energia se conserva, podemos escolher um instante de tempo onde a energia é puramente cinética, pois facilitaria os cálculos. Isto ocorre quando a corda está totalmente sobre o eixo das abscissas, logo, [tex3]y_{n}(x,t_{1})=0[/tex3]. Portanto, [tex3]\cos \left(\frac{n\pi vt_{1}}{l}+\delta_{n}\right)=0\therefore\sen \left(\frac{n\pi vt_{1}}{l}+\delta_{n}\right)=1[/tex3]

A energia cinética de um ponto infinitesimal da corda é dado por:

[tex3]dE=\frac{v^{2}_{y}(x,t_{1})dm}{2}[/tex3]

Logo, a energia total da corda (que coincide com a energia cinética total no instante considerado) é:

[tex3]E=\int \frac{v^{2}_{y}(x,t_{1})dm}{2}[/tex3]

A velocidade de um ponto da corda é igual a:

[tex3]\frac{\partial y_{n}(x,t_{1})}{\partial t}=v_n(x,t_{1})=b_{n}\sen \left(\frac{n\pi x}{l}\right)(-1)\underbrace{\sen \left(\frac{n\pi vt_{1}}{l}+\delta_n\right)}_{1}\frac{n\pi v }{l}=-\frac{b_{n}n\pi v}{l}\sen \left(\frac{n\pi x}{l}\right)[/tex3]

Perceba que [tex3]\mu=\frac{dm}{dx}\Leftrightarrow dm=\mu dx[/tex3]. Então:

[tex3]E=\int \frac{v^{2}_{y}(x,t_{1})dm}{2}=\int_{0}^{l}\frac{b_{n}^{2}n^{2}\pi^{2}v^{2}\mu}{2l^{2}}\sen^{2} \left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx=\frac{b_{n}^{2}n^{2}\pi^{2}v^{2}\mu}{2l^{2}}\underbrace{\int_{0}^{l}\frac{1}{2}\left(1-\cos\left(\frac{2n\pi x}{l}\right)\right)dx}_{\frac{l}{2}}=\frac{b_{n}^{2}n^{2}\pi^{2}v^{2}\mu}{4l}=b_{n}^2\pi^{2}lf^{2}\mu[/tex3]