Seção II: Ângulos ⇒ Problema 103 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se tem os ángulos consecutivos AOB, BOC e COD ; tal que [tex3]\angle MON = 100^o[/tex3]
[tex3]m\angle AOC - m \angle BOD = 20^o[/tex3] e [tex3]m \angle AOM = 40^o.[/tex3]
sendo os raios OM e ON as bisserizes dos ángulos AOB e COD respectivamente.
Calcular l[tex3] m\angle BOC[/tex3].

Resposta

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Gabarito: C) 30^o

[petrasMOD]

Seja[tex3] \angle AOB = \alpha[/tex3]
Seja [tex3]\angle BOC = \beta[/tex3]
Seja [tex3]\angle COD = \gamma[/tex3]

OM é bissetriz de[tex3]\angle AOB[/tex3]
Se OM é bissetriz de [tex3]\angle AOB[/tex3], então[tex3] \angle AOM = \angle MOB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{\alpha}{2}.[/tex3]
Dado que [tex3]\angle AOM = 40^\circ[/tex3], temos [tex3]\frac{\alpha}{2} = 40^\circ, \rightarrow \alpha = 80^\circ.[/tex3]
Portanto,[tex3] \angle AOB = 80^\circ.[/tex3]

ON é bissetriz de[tex3] \angle COD:[/tex3]
Se ON é bissetriz de[tex3] \angle COD[/tex3], então [tex3]\angle CON = \angle NOD = \frac{\angle COD}{2} = \frac{\gamma}{2}.[/tex3]
[tex3]
\angle AOC - \angle BOD = 20^\circ\\
\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \beta\\
\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = \beta + \gamma.\\
(\alpha + \beta) - (\beta + \gamma) = 20^\circ\\
\alpha + \beta - \beta - \gamma = 20^\circ\\
\alpha - \gamma = 20^\circ[/tex3].
[tex3] \alpha = 80^\circ.[/tex3] Então, [tex3]80^\circ - \gamma = 20^\circ.[/tex3]
[tex3] \gamma = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ[/tex3].
Portanto, [tex3]\angle COD = 60^\circ.[/tex3]

[tex3] \angle MON = \angle MOB + \angle BOC + \angle CON[/tex3].

[tex3] \angle MOB = \frac{\alpha}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ.\\
\angle BOC = \beta\\
\angle CON = \frac{\gamma}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ.\\
100^\circ = 40^\circ + \beta + 30^\circ.\\
100^\circ = 70^\circ + \beta.\\
\beta = 100^\circ - 70^\circ.\\[/tex3]
[tex3] \boxed{ \beta = 30^\circ.}
[/tex3]