Seção II: Ângulos ⇒ Problema 105 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

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Sobre um plano se tem os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD e OP e OQ são bissetrizes
dos ângulos AOB e COD respectivamente.
Se [tex3]m\angle POQ - 80^o ~e~ m \angle AOB -m\angle COD - 20^o [/tex3]
Calcular [tex3]m\angle AOC[/tex3]

Resposta

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Gabarito: C) 90^o

[petrasMOD]

Sejam [tex3]m\angle AOB = \alpha, m\angle BOC = \beta~ e~ m\angle COD = \gamma.[/tex3]
OP é bissetriz de [tex3]\angle AOB[/tex3], então [tex3]m\angle POB = \frac{\alpha}{2}.[/tex3]
OQ é bissetriz de[tex3] \angle COD[/tex3], então [tex3]m\angle COQ = \frac{\gamma}{2}[/tex3].
[tex3]
m\angle POQ = m\angle POB + m\angle BOC + m\angle COQ\\
80^\circ = \frac{\alpha}{2} + \beta + \frac{\gamma}{2}\\
160^\circ = \alpha + 2\beta + \gamma[/tex3]

[tex3] (I) \alpha - \gamma = 20^\circ\\
(II) \alpha + 2\beta + \gamma = 160^\circ
[/tex3]

Da equação (I), [tex3]\gamma = \alpha - 20^\circ.[/tex3]
Substituímos na equação (II)
[tex3]\alpha + 2\beta + (\alpha - 20^\circ) = 160^\circ\\
2\alpha + 2\beta - 20^\circ = 160^\circ\\
2\alpha + 2\beta = 180^\circ\\
\alpha + \beta = \boxed{90^\circ = \angle AOC}
[/tex3]