Vol. 09 - Geometria Plana FME 2004 ⇒ 278 - FME 09 -Teste de Vestibulares Tópico resolvido

[petrasMOD]

(FATEC-88) Sejam A, 8 e C vénices de um triângulo. Se AB = 4 cm e BC = 5 cm, emào a medida máxima do lado AC para que a área deste triângulo não seja inferior a 6 cm² é:
a) [tex3]\sqrt{73}[/tex3] cm
b) 8 cm
c) [tex3]\sqrt{41}[/tex3] cm
d) 6 cm
e) 5 cm

Resposta

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Gabarito: a)

[petrasMOD]

A área do triângulo é [tex3]A=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sen (B) \implies : 6\le \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sen (B). \\ \therefore sen (B)\ge \frac{6}{10}=\frac{3}{5}.[/tex3]

[tex3]cos ^{2}(B)=1-\sen ^{2}(B) \implies \cos ^{2}(B)=1-\frac{3}{5}^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}. \\
\therefore \cos (B)=\pm \sqrt{\frac{16}{25}}=\pm \frac{4}{5}.[/tex3]

[tex3]AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (B)
\\AC^{2}=4^{2}+5^{2}-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos (B)\\
AC^{2}=16+25-40\cos (B)=41-40\cos (B).[/tex3]

Para maximizar AC, devemos minimizar 40cos(B), o que significa que cos (B) deve ser o mais negativo possível.

[tex3]\cos (B)=-\frac{4}{5}\\
AC^{2}=41-40\left(-\frac{4}{5}\right)=41+32=73 \implies AC = \sqrt{73} [/tex3]
O comprimento máximo de AC é [tex3]\boxed{\sqrt{73}cm}[/tex3].