Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 009 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(UF-PE) Sobre o triângulo, cujos lados medem 8, 7 e 5, podemos afirmar que:

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0-0) um dos ângulos internos do triângulo mede 60°.
1-1) o maior dos ângulos internos mede mais que o dobro da medida do menor dos ângulos internos do triângulo
2-2) a área deste triângulo é 17,5.
3-3) o triângulo é obtusângulo.
4-4) o menor dos ângulos internos tem seno igual a [tex3]\frac{5\sqrt3}{14}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: V; V; F; F; V

[petrasMOD]

Supondo que AB = 7, AC = 8 e BC = 5;
Lei dos cossenos:
[tex3]\mathsf{5^2 = 7^2+8^2-2.7.8.cos\angle A \implies 88=112cos \angle A \therefore cos \angle A = \frac{11}{14}\\
7^2 = 5^2+8^2-2.5.8.cos\angle C \implies 40 = 80 cos\angle C \therefore cos \angle C = \frac{1}{2} = 60^o \\
8^2 = 5^2+7^2-2..5.7.cos\angle B \implies 10 = 70cos\angle B \therefore cos\angle B = \frac{1}{7}\\


}[/tex3]
0-0: (V)
1-1: O maior ângulo está oposto ao maior lado portanto [tex3]\mathsf{cos \angle C = \frac{1}{7} :menor ~cos~\angle A= \frac{11}{14}\\
cos2 \angle A = 2cos^\angle A - 1 = 2(\frac{11}{14})^2 - 1 = \frac{23}{98} > cos \angle B
} [/tex3]
Visto que a função cosseno é decrescente para ângulos entre 0∘ e 180∘, se o cosseno de um ângulo é menor que o cosseno de outro, o primeiro ângulo é maior que o segundo. Portanto Portanto, [tex3]\angle B>2\angle A[/tex3] (V)
[/tex3]
2-2: [tex3]\mathsf{S = \frac{1}{2}AC.BC.sen\angle C} = \frac{\sqrt3}{2}.8.5.sen\angle C = \frac{40\sqrt3}{4} = 10\sqrt3\approx 17,3 \ne 17,5 [/tex3](F)
3-3: Todos os cossenos são positivos portanto stodos os ângulos são agudos e o triângulo é acutângulo e não obtusãngulo (F)
4-4: O menor ângulo é oposto ao menor lado, que é 5.
[tex3]\mathsf{cos\angle A = \frac{11}{14} \implies sen^2A = \sqrt{1-cos^2\angle A} = \sqrt{1- \frac{121}{196}} \therefore sen\alpha = \frac{5\sqrt{3}}{14} (V)

}
[/tex3]