Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 127 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(ITA-SP) Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então BH é uma raiz do polinômio
a) [tex3]\pi^3x^3 + \pi^2x^2 + \pi x - 2 = 0[/tex3]
b) [tex3]\pi^2x^3 + \pi^3x^2 + x + 1 = 0[/tex3]
c) [tex3]\pi^3x^3 - \pi ^2x^2 + \pi x + 2 = 0[/tex3]
d) [tex3] \pi x^3 - \pi^2x^2 + 2\pi x - 1 = 0[/tex3]
e) [tex3] x^3 - \pi^2x^2 + \pi x - 1 = 0[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: d)

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{
\triangle PMR_{(ret)}:PR = \sqrt{\left(\frac{B}{2}\right)^2+H^2}\\
\triangle PMR \sim \triangle PNO: \frac{\frac{B}{2}}{r}=\frac{\sqrt{\left(\frac{B}{2}\right)^2+H^2}}{H-r} \leftrightarrow B(H-r) = r\sqrt{B^2+4H^2}(I)
}[/tex3]
r é o raio do círculo inscrito no triângulo PQR.

Se as áreas do retângulo, do triângulo isósceles e do círculo nele inscrito formam uma progressão geométrica,então PG: [tex3](BH: \frac{BH}{2}:\pi r^2)[/tex3]
[tex3](\frac{BH}{2})^2=BH.\pi r^2 \leftrightarrow r^2 = \frac{BH}{4\pi} \therefore r = \sqrt \frac{BH}{4\pi}(r > 0)[/tex3]

Substituindo r em (I): [tex3]B(H- \sqrt \frac{BH}{4\pi}) = \sqrt \frac{BH}{4\pi}\sqrt{B^2+4H^2}\\
B(H-H\sqrt{\frac{B}{4\pi H}})=\\
= H^2\sqrt{\frac{B}{4 \pi H}}.\sqrt{\frac{B}{H}^2+4}\\
\frac{B}{H}(1- \sqrt{\frac{1}{4\pi}.\frac{B}{H}}) = \\
= \sqrt{\frac{1}{4\pi}.\frac{B}{H}.[(\frac{B}{H})^2+4])}(II)\\
Seja:\frac{B}{H} = x \implies x(1-\sqrt{\frac{1}{4 \pi}.x}) = \sqrt{\frac{1}{4 \pi}.x(x^2+4}) \\
x^2 (1-\sqrt{\frac{x}{4 \pi}} )^2 = \frac{x}{4 \pi}(x^2+4) \\
x-2x(\sqrt{\frac{x}{4 \pi}} +\cancel{ \frac{x}{4\pi}}= \cancel{\frac{x}{4\pi}}+\frac{1}{\pi}\\
x-\frac{1}{\pi} = 2x\sqrt{\frac{x}{4\pi}} \implies x - \frac{1}{\pi} = \sqrt{\frac{x^3}{\pi}}\\
x^2- \frac{2x}{\pi}+ \frac{1}{\pi^2} = \frac{x^3}{\pi}\\
\therefore\boxed{\pi x^3-\pi x^2+2\pi x-1=0}
[/tex3]
d)

(Solução:Objetivo)