Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 132 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

132. (Fuvest-SP) Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF , de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura.

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Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a:

a) [tex3]\frac{3\sqrt5}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{7\sqrt5}{8}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3\sqrt5}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3\sqrt5}{5}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt5}{3}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: d)

[rcompany]

[tex3]\alpha=\angle AEF\\
\tan\alpha=\frac{AF}{EA}=\frac{AF}{3}\\
\triangle EAF\equiv \triangle EGA\text{ (por construção)}\implies \angle EFA=\angle GFE=\frac{\pi}{2}-\alpha\implies \angle GFB=2\alpha\\
\implies \tan 2\alpha=\frac{BG}{FG}=\frac{1}{AF}\text{ já que AF=FG}\\
x=AF\\
\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\implies \frac{1}{x}=\frac{2\cdot\frac{x}{3}}{1-\frac{x^2}{9}}\implies \frac{2x^2}{3}=1-\frac{x^2}{9}\implies x^2=\frac{9}{5}\implies x=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}\\
\\\fbox{$\quad$resposta d$\quad$}[/tex3]