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(UF-MT) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado L.

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Sendo E, F e G os pontos médios dos lados desse triângulo e D, o ponto médio do segmento AE, pode-se afirmar que a área do polígono DEFG é
a) [tex3]\frac{3\sqrt3L^2}{32}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt3L^2}{16}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3\sqrt2L^2}{25}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt2L^2}{18}[/tex3]
e) [tex3]\frac{2\sqrt3L^2}{9}[/tex3]

Resposta

Gabarito: a)

[tex3]
\text{Aplicando Tales no $\triangle ABC$ com os pontos médios do seus lados $E,F,G$ vemos que $\triangle ABC$ é composto }\\
\text{por 4 triângulos equiláteros formados por um vértice de $\triangle ABC$ e os dois pontos médios dos lados }\\
\text{adjacentes a esse vértice, congruentes entre se e de lado $\frac{L}{2}$.}\\
\text{Aplicando a fórmula de Heron num triângulo equilátero: }S(\triangle ABC)=\sqrt{\frac{3L}{2}\cdot(\frac{3L}{2}-L)^3}=L^2\frac{\sqrt{3}}{4}\\
S(\triangle EFG)=\left(\frac{L}{2}\right)^2\frac{\sqrt{3}}{4}=L^2\frac{\sqrt{3}}{16}\text{, também válido para os outros três triângulos de lado }\frac{L}{2}\\
GD\text{ mediana em }\triangle AEG\implies S(\triangle GDE)=\frac{1}{2}\cdot S(\triangle AEG)=\frac{1}{2}\cdot L^2\frac{\sqrt{3}}{16}=L^2\frac{\sqrt{3}}{32}\\
S(DEFG)=S(\triangle EFG)+S(\triangle GDE)=L^2\frac{3\sqrt{3}}{32}\\
\\\fbox{$\quad$resposta a$\quad$}
[/tex3]

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281 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013

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