Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 287 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(FGV-SP) Em um triângulo ABC, o lado AC e a mediatriz de BC se interceptam no ponto D, sendo que BD é bissetriz do ângulo ABC. Se AD = 9 cm e DC = 7 cm, a área do triângulo ABD, em cm², é:

a) 12
b) 14
c) 21
d) 28
e) 14[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: e)

[Atendimento]

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Do esquema, temos que [tex3]\triangle BMD \equiv \triangle CMD[/tex3] (caso LAL de semelhança).

Assim, [tex3]BD = CD = 7,\text{cm}[/tex3].

Além disso,

[tex3]m(\angle MCD) = m(\angle MBD) = \alpha[/tex3]

Como [tex3]\angle ADB[/tex3] é ângulo externo do [tex3]\triangle BCD[/tex3]:

[tex3]m(\angle ADB) = \alpha + \alpha = 2\alpha[/tex3]

Como

[tex3]m(\angle ABC) = m(\angle ADB) = 2\alpha[/tex3]
e
[tex3]m(\angle ACB) = m(\angle ABD) = \alpha[/tex3],

temos que

[tex3]\triangle ABC \sim \triangle ADB[/tex3]

Pela semelhança, segue que:

[tex3]\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}[/tex3]

[tex3]\frac{AB}{9} = \frac{16}{AB}[/tex3]

Resolvendo:

[tex3]AB^2 = 9 \cdot 16[/tex3]
[tex3]AB = \sqrt{144} = 12[/tex3]

Além disso:

[tex3]\frac{BC}{BD} = \frac{AC}{AB}[/tex3]

[tex3]\frac{BC}{7} = \frac{16}{12}[/tex3]

[tex3]BC = \frac{7 \cdot 16}{12} = \frac{28}{3}[/tex3]

Portanto:

[tex3]MC = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{14}{3}[/tex3]

No [tex3]\triangle DMC[/tex3], aplicando Pitágoras:

[tex3]7^2 = \left(\frac{14}{3}\right)^2 + DM^2[/tex3]

[tex3]49 = \frac{196}{9} + DM^2[/tex3]

[tex3]DM^2 = \frac{441}{9} - \frac{196}{9} = \frac{245}{9}[/tex3]

[tex3]DM = \frac{7\sqrt{5}}{3}[/tex3]

Como [tex3]D[/tex3] pertence à bissetriz de [tex3]\angle ABC[/tex3], ele equidista dos lados [tex3]\overline{BC}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3].
Portanto:

[tex3]DE = DM = \frac{7\sqrt{5}}{3}[/tex3]

Sendo [tex3]S[/tex3] a área, em cm², do [tex3]\triangle ABD[/tex3], temos:

[tex3]S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE[/tex3]

[tex3]S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{7\sqrt{5}}{3}[/tex3]

[tex3]S = 84 \cdot \frac{\sqrt{5}}{6}[/tex3]

[tex3]S = 14 \sqrt{5}[/tex3]

Postagem original:

No triângulo ABC, o lado AC e a mediatriz do segmento BC se encontram no ponto D, e a reta BD é a bissetriz de ABC. Se [tex3]AD=9[/tex3] e [tex3]DC=7[/tex3], qual a área do triângulo ABD?

[petrasMOD]

@Atendimento

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