Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 293 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(Unicamp-SP) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90° e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimento PB = 10 e PC = 3.

a) Determine r.
b) Determine AB e AC.
c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo.

Resposta

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Gabarito: a) r=2; b) AB = 12 e AC = 5; c) Área = (30-4[tex3]\pi [/tex3])

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{a)\\
BE=BP (tangentes):=10 \implies AB = 10+r\\
CD = CP(tangentes) = 3 \implies AC = 3+r\\
\triangle ABC: 13^2 = AB^2+AC^2 \implies 169 = (10+r)^2+(3+r)^2 = 109+262r+2r^2\\
2r^2 +262r-60=0 \implies r^2+131r-30=0\\
\therefore \boxed{r=2}\\
b)\\
AB = 10+r = 10+2 = \boxed{12}\\
AC = 3=r 3+2 = \boxed{5}\\
c)\\
S = S{ABC}- S\bigcirc = \frac{12.5}{2} + \pi 2^2 = \boxed{30 -4\pi}
}[/tex3]