Pré-Vestibular ⇒ (UFMG-2009) Função do segundo grau Tópico resolvido

[jacobi]

Seja [tex3]f(x) = ax^{2} + bx + c[/tex3] uma função do segundo grau, em que a, b e c são números reais.
Sabe-se que:
• o gráfico dessa função passa pelos pontos (1, 3) e (2, 6); e
• essa função possui uma única raiz.
Considerando esses dados, CALCULE os valores de a, b e c.

[ALDRINMOD]

Fonte: (UFMG - 2009).

[jacobi]

Fonte: (UFMG - 2009).

Não estou conseguindo editar a mensagem.

[Natan]

Olá jacobi, fiz isso pra você, é que depois de um tempo não dá mais para editar mesmo. Ai vai a minha solução:

Dizer que ela passa pelos pontos [tex3](1,\, 3)\, e\, (2,\, 6)[/tex3] equivale a dizer que [tex3]f(1)=3\, e\, f(2)=6[/tex3] e ai podemos montar o sistema:

[tex3]\begin{cases} a+b+c=3 \\ 4a+2b+c=6\end{cases}[/tex3] cuja solução são os pontos da forma [tex3](a,\, b,\, c)=\left(\frac{k}{2},\, \frac{6-3k}{2},\, k\right)\, k\, \in\, \Re[/tex3]

assim teríamos infinitas parabólas, porém foi dito que ela possui raíz dupla, então o seu discriminante é nulo e daí temos que :

[tex3]b^2=4ac[/tex3] escrevendo em termos de [tex3]k[/tex3] vem:
[tex3]\left(\frac{6-3k}{2}\right)^2=4\cdot \frac{k}{2}\cdot k[/tex3] desenvolvendo e agrupando:
[tex3]k^2-36k+36=0\, \therefore\, k=18 \pm 12\sqrt2[/tex3]

e assim ficamos com:

[tex3]\begin{cases} a=\frac{18 \pm 12\sqrt2}{2}=9 \pm 6\sqrt2 \\ b=\frac{6-3\left(18 \pm 12\sqrt2\right)}{2}=-24-18\sqrt2 \\ c=18 \pm 12\sqrt2\end{cases}[/tex3]

e daí temos duas parábolas possíveis:

[tex3]f(x)=\(9+6\sqrt2\)x^2+\(-24-18\sqrt2\)x+18+12\sqrt2\, \text{ ou }\, f(x)=\(9-6\sqrt2\)x^2+\(-24+18\sqrt2\)x+18-12\sqrt2[/tex3]