Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 351 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(Unicamp-SP) O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil A figura a seguir mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em azul) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.

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a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio.
b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.

Resposta

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Gabarito: a) 625([tex3]\sqrt{3}+1)cm^2[/tex3]; b) [tex3]\frac{25\pi \sqrt2}{2}cm[/tex3]

[Atendimento]

Podemos tirar, do enunciado, algumas informações importantes, dentre elas a congruência dos ângulos internos da pipa:

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No triângulo retângulo [tex3]\triangle CED[/tex3], tem-se:

[tex3]sen30º = \frac{DE}{DC} = \frac{1}{2} = \frac{DE}{50}[/tex3], logo [tex3]DE=BE=AE=25 \ e\ BD = 50[/tex3]

Tendo visto que a área [tex3]S[/tex3] pedida, em [tex3]cm^2[/tex3], pode ser obtida pela soma das áreas dos triângulos [tex3]CBD \ e \ ADB[/tex3], podemos concluir que:

[tex3]S=\frac{1}{2} \cdot DC \cdot BC \cdot sen(60º) + \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AE[/tex3]

[tex3]S = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 50 \cdot \frac{\sqrt{^3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 25[/tex3]

[tex3]S = 625\sqrt{3} + 625, \ logo\ \boxed{S= 625(\sqrt{3}+1)}[/tex3]

Agora, do enunciado e item anterior, temos que o ponto O é o centro do arco de circunferência que liga os pontos B e D de raio medindo DO

[tex3]\triangle OED[/tex3] é congruente a [tex3]\triangle OEB[/tex3]

[tex3]DE = BE = EO = 25[/tex3]

No triângulo retângulo[tex3] OED[/tex3], temos que:

[tex3]Sen(45º) = \frac{DE}{DO}\ e \ por \ isso\ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{25}{DO}\ e \ portanto \ DO = BO = 25\sqrt{2}[/tex3]

Por isso, nas condições do problema, o comprimento pedido em cm é igual a [tex3]\frac{90º}{360º}2\pi 25\sqrt{2}[/tex3] ou seja, sendo igual a [tex3]\boxed{\frac{25 \pi \sqrt{2}}{2}cm.} [/tex3]