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(Fuvest-SP) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD = 3.O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de intersecção da diagonal AC com o segmento BE. Então a área do triângulo BCF vale: a) [tex3]\frac{6}{5}[/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{4}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{7}{5}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

Olá!

Observando a figura é possivel perceber que os triângulos CEF e ABF são semelhantes, pois [tex3]\measuredangle ECF[/tex3] = [tex3]\measuredangle BAF[/tex3] (alternos internos) e [tex3]\measuredangle EFC[/tex3] = [tex3]\measuredangle AFB[/tex3] (opostos pelo vértice).
Sejam h e H, a medida da altura do [tex3]\bigtriangleup [/tex3]ECF em relação a [tex3]\overline{EC}[/tex3] e altura do [tex3]\bigtriangleup [/tex3]ABF em relação [tex3]\overline{AB}[/tex3], repectivamante, podemos escrever a seguinte proporção:

[tex3]\frac{h}{H}[/tex3] = [tex3]\frac{1}{5}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\frac{h + H}{H}[/tex3] = [tex3]\frac{1 + 5}{5}[/tex3]

Como (h + H) = 3, vem:

[tex3]\frac{3}{H}[/tex3] = [tex3]\frac{6}{5}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] H = [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

A área do [tex3]\bigtriangleup[/tex3]BCF será a área do [tex3]\bigtriangleup [/tex3]ABC menos a área do [tex3]\bigtriangleup [/tex3]ABF, ou seja:

[tex3]\left(\frac{5\cdot 3}{2}\right)[/tex3] - [tex3]\left(\frac{5\cdot 5}{2}\right)[/tex3][tex3]\cdot \frac{1}{2}[/tex3] = [tex3]\frac{15}{2}[/tex3] - [tex3]\frac{25}{4}[/tex3] = [tex3]\frac{5}{4}[/tex3]