Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 015 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Dado os pontos consecutivos e colineares J, O, S, E, P, H
Se : [tex3]\frac{JO}{OS}+\frac{OE}{SE}+\frac{SP}{EP}+\frac{EH}{PH}=12[/tex3]
Calcular [tex3]\frac{JS}{OS}+\frac{OS}{SE}+\frac{SE}{EP}+\frac{EP}{PH}=12[/tex3]

Resposta

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Gabarito: 8

[petrasMOD]

[tex3]\frac{JS}{OS}+\frac{OE}{SE}+\frac{SP}{EP}+\frac{EH}{PH}=12[/tex3]

[tex3]\frac{OE}{SE} = \frac{OS+SE}{SE} = \frac{OS}{SE} + 1\\
\frac{SP}{EP} = \frac{SE+EP}{EP} = \frac{SE}{EP} + 1\\
\frac{EH}{PH} = \frac{EP+PH}{PH} = \frac{EP}{PH} + 1[/tex3]

Substituindo na equação:
[tex3]\frac{JS}{OS} + \left(\frac{OS}{SE} + 1\right) + \left(\frac{SE}{EP} + 1\right) + \left(\frac{EP}{PH} + 1\right) = 12[/tex3]
[tex3]\left(\frac{JS}{OS} + \frac{OS}{SE} + \frac{SE}{EP} + \frac{EP}{PH}\right) + 3 = 12[/tex3]
[tex3]\frac{JS}{OS} + \frac{OS}{SE} + \frac{SE}{EP} + \frac{EP}{PH} = 12 - 3 = 9[/tex3]

[tex3]\frac{JO}{OS}+\frac{OS}{SE}+\frac{SE}{EP}+\frac{EP}{PH}=?[/tex3]

Podemos relacionar o primeiro termo desta expressão [tex3](\frac{JO}{OS})[/tex3] com o termo [tex3]\frac{JS}{OS}[/tex3] que usamos no passo anterior. Como os pontos são colineares, JS = JO + OS.
Isso significa que[tex3] \frac{JS}{OS} = \frac{JO+OS}{OS} = \frac{JO}{OS} + 1.[/tex3]
Isolando [tex3]\frac{JO}{OS},[/tex3] temos:
[tex3]\frac{JO}{OS} = \frac{JS}{OS} - 1[/tex3]

Agora, substituímos esta relação na expressão que queremos calcular:
[tex3]\left(\frac{JS}{OS} - 1\right) + \frac{OS}{SE} + \frac{SE}{EP} + \frac{EP}{PH}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{JS}{OS} + \frac{OS}{SE} + \frac{SE}{EP} + \frac{EP}{PH}\right) - 1[/tex3]
[tex3]9 - 1 = \boxed{8}[/tex3]