Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 016 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma linha reta se marcam os pontos consecutivos U, N, C, P tal que [tex3]\frac{UN}{NC}=\frac{b. UP}{a.CP}[/tex3] e [tex3]\frac{b}{UN}+\frac{a}{UP}=8(a+b)[/tex3]
Calcular UC.

Resposta

---

Gabarito: [tex3]\frac{1}{8} [/tex3] (Gabarito errado do livro:

[petrasMOD]

UC=UN+NC
UP=UN+NC+CP=UC+CP

a.UN⋅CP=b⋅NC⋅UP.
[tex3]a \cdot UN \cdot (UP - UC) = b \cdot NC \cdot UP\\a \cdot UN \cdot UP - a \cdot UN \cdot UC = b \cdot NC \cdot UP\\
a \cdot UN \cdot UP - b \cdot NC \cdot UP = a \cdot UN \cdot UC\\
UP(a \cdot UN - b \cdot NC) = a \cdot UN \cdot UC\\UP = \frac{a \cdot UN \cdot UC}{a \cdot UN - b \cdot NC}[/tex3]

Agora, substituímos a expressão que encontramos para UP na segunda equação,
UNb +UPa =8(a+b).
[tex3]\frac{b}{UN} + \frac{a}{\left(\frac{a \cdot UN \cdot UC}{a \cdot UN - b \cdot NC}\right)} = 8(a+b)\\
\frac{b}{UN} + \frac{a(a \cdot UN - b \cdot NC)}{a \cdot UN \cdot UC} = 8(a+b)\\
\frac{b}{UN} + \frac{a \cdot UN - b \cdot NC}{UN \cdot UC} = 8(a+b)[/tex3]

No numerador, [tex3]b⋅UC+a⋅UN−b⋅NC\\
b(UN+NC) + a.UN - b.NC\\
b.UN + b.NC + a.UN - b.NC \implies
(a+b)UN\\
\therefore \frac{(a+b)\cancel{UN}}{\cancel{UN} \cdot UC} = 8(a+b)\\
\therefore \boxed{UC = \frac{1}{8}}[/tex3]