Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 021 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma reta se deten segmentos consecutivos cujos comprimentos são
1, [tex3]\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{24}, \frac{1}{48}, \frac{1}{96}[/tex3] ...
e assim sucessivamente. Calcular a soma limite de seus comprimentos.

Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{4}{3}[/tex3]

[petrasMOD]

A sequência, a partir do segundo termo, é uma progressão geométrica infinita. O primeiro termo [tex3](a_1)[/tex3] é 1, e a partir dele, a série é:
[tex3]\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{24}, \frac{1}{48}, \frac{1}{96}, \dots[/tex3]

[tex3]S = \frac{a}{1-r}[/tex3],
[tex3]a_1 = \frac{1}{6}\\r = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{12} \times 6 = \frac{1}{2}.
[/tex3]
[tex3]S = \frac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}[/tex3]
Portanto
Soma Total [tex3]= 1 + S = 1 + \frac{1}{3} = \boxed{\frac{4}{3}}[/tex3]