Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 028 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

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Se: S ➔ suplemento: calcular "n'' se é impar em [tex3]SS_ \alpha+ SSSS_{3 \alpha}+ SSSSSS_{5\alpha}+ ... + \underbrace{SSSS ... S}_{n+1~vezes}[/tex3] _{n[tex3]\alpha[/tex3]}= 81[tex3]\alpha [/tex3]

Resposta

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Gabarito: 17

[petrasMOD]

Quando a operação S é aplicada um número par de vezes, o resultado é o próprio ângulo.
Um número ímpar de aplicações de S resulta em 180^∘ − ângulo.

A série é:
[tex3]SS_ \alpha+ SSSS_{3 \alpha}+ SSSSSS_{5\alpha}+ ... + \underbrace{SSSS ... S}_{n+1~vezes} = 81\alpha[/tex3]

Cada termo tem um número par de aplicações de S (2, 4, 6, ...). Como o problema informa que "n" é ímpar, então o último termo tem n+1 aplicações de S, que é um número par.

A série se simplifica para a soma dos ângulos:
[tex3]\alpha + 3\alpha + 5\alpha + ... + n\alpha = 81\alpha\\
\underbrace{1 + 3 + 5 + ... + n}_{P.A.} = 81[/tex3]
Essa é uma progressão aritmética onde:
O primeiro termo [tex3](a_1)[/tex3] é 1.
O último termo [tex3](a_k)[/tex3] é n.
A razão é 2.
O número de termos = k
[tex3]a_k = a_1 + (k-1)r\\
n = 1 + (k-1)2 = 2k - 1\\
n + 1 = 2k \implies
k = \frac{n+1}{2}[/tex3]
Soma de uma PA, [tex3]S_k = \frac{k(a_1 + a_k)}{2} = \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)(1 + n)}{2}\\
S_k = \frac{\frac{(n+1)^2}{2}}{2} = \frac{(n+1)^2}{4} =\left(\frac{n+1}{2}\right)^2 = k^2 [/tex3]
Substituindo na fórmula da soma, temos:
[tex3]\left(\frac{n+1}{2}\right)^2 = 81\\
\frac{n+1}{2} = 9\\
n+1 = 18\\
\boxed{n = 17}[/tex3]