Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 025 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se tem um triângulo ABC tal que ao traçar sua altura BH se cumpre que BC = 2AH +AB, calcular:
m [tex3]\angle[/tex3] BCA se m [tex3]\angle [/tex3] ABH = 18 º

Resposta

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Gabarito: 36^o

[petrasMOD]

Para a resolução precisamos dos triângulos retÂngulos aproximados:

[tex3]\mathsf{
sen72^o =\frac{BH}{AB} \implies BH = sen72.AB\\
\angle ABH = 18^o \implies sen18 = \frac{AH}{AB} \implies AH = sen18.AB\\
senC = \frac{BH}{BC} = \frac{BH}{2AH+AB} = \frac{sen72AB}{2sen18AB+AB} = \frac{sen72}{2sen18+1}\\
sen C = \frac{\frac{k(\sqrt{10+2\sqrt5}}{4k}}{\frac{2(\sqrt5-1)}{4k}+1}=\frac{k(\sqrt{10-2\sqrt5})}{2(\sqrt5-1)k +4k} =\frac{(\sqrt{10-2\sqrt5})}{2(\sqrt5-1) +4}\\
\frac{(\sqrt{10-2\sqrt5})}{(2\sqrt5+2)}.\frac{(2\sqrt{5}-2)}{(2\sqrt5-2)} = \frac{(\sqrt{160-32\sqrt5})}{16} =\frac{4\sqrt{10-2\sqrt5}}{16}\\
senC = \frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4} \implies \boxed{\angle C =36^o } \\






}[/tex3]