Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 092 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Do gráfico, calcular "x", se :
MT = 3TN

Resposta

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Gabarito: 53^o

[rcompany]

Ver gráfico para a definição de pontos[tex3]
\text{ Sem perda de generalidade definimos TN=1}\\
ABCD \text{ retângulo já que tem 3 ângulos retos}\\
\text{Temos então }\angle DBC=\angle BCA\\
\therefore \triangle CTN\sim\triangle BTM\text{ com razão }\frac{TN}{TM}=\frac{1}{3}=\frac{CT}{BT}\\
\implies CT=\frac{BC}{4}\\
\text{Seja $BP$ altura em $\triangle ABC$: }(BP)\perp(AC)\text{ e }(TN)\perp(AC)\implies (BP)\perp(TN)\\
\text{Tales em $\triangle BPC$: }BP=4TN=4\\
ABCD \text{ retângulo}\implies \triangle ABC\equiv\triangle CDA\\
N,P\text{ pontos homólogos (pés da altura oriunda do vértice com ângulo reto) em $\triangle CDA$ e $\triangle ABC$}\implies DN=BP=4\\
\therefore DT=DN+NT=4+1=5\\
\text{e então }\cos x=\frac{TM}{TD}=\frac{3}{5}\\
\text{ ou seja }x=\arccos(\frac{3}{5})\approx 53°


[/tex3]

[petrasMOD]

Os triângulos retângulos △BMT e △CNT são semelhantes, e como MT=3TN, se deduz que BC=4TC.

△BCD e △DCT também são semelhantes:

[tex3]\frac{TC}{CD}=\frac{CD}{BC}⟹CD^2=TC⋅BC=4TC^2⟹\\

CD=2TC \implies x=180^o−2arctan(2)≈\boxed{53^o}[/tex3]
(Solução:Pie)