Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 096 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

En un triângulo retângulo ABC reto em B, se traça a altura BH e se prolonga até a um ponto P, tal que:
HC = 3AH e BP = BC. Calcular AB se PC = 3.

Resposta

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Gabarito: [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

[rcompany]

[tex3]
M\text{ ponto médio de $AC$}
AM=MC\implies AH+HM=HC-=HM\implies AH+HM=3AH-HM\\
\implies AH=HM\\
(AH)\perp(AM)\text{ e }AH=HM\implies BA=BM\\
\triangle ABC\text{ retângulo em $B$ e $M$ ponto médio de $BC$}\implies \text{$M$ circuncentro de $\triangle ABC$}\implies MA=MB=MC\\
\therefore BA=BM=MA\text{ ou seja $\triangle ABM$ equilátero, e então $\angle BAM=\frac{\pi}{3}$}\\
\angle CBP=\pi-\angle BHC-\angle HCB=\frac{\pi}{2}-\angle HCB\\
=\frac{\pi}{2}-\angle ACB=\frac{\pi}{2}-(\pi-\angle CBA-\angle BAC)=\angle BAC=\angle BAM=\frac{\pi}{3}\\
\triangle BCP\text{ isósceles em $B$ e $\angle CBP=\frac{\pi}{3}$}\implies \triangle BCP \text{ equilátero}\\
\text{ Temos então $\angle HCP=\frac{\pi}{6}$ e então $CH=CP\cos\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$}\\
AH=\frac{CH}{3}\implies AH=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\text{ e }AB=AM=2AH=\sqrt{3}

[/tex3]