Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 105 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC se marca o ponto P exterior relativo ao lado BC. Os comprimentos dos segmentos PB, PC e PA estão na razão de 1, 2 e 3. Calcular a soma do valor máximo e mínimo inteiros que AP pode assumir, se o perímetro do triângulo ABC é 24.

Resposta

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Gabarito: 24

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PB = k
PC = 2k
PA = 3k

A desigualdade triangular afirma que, em qualquer triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados deve ser maior que o comprimento do terceiro lado. Vamos aplicar isso aos triângulos formados:

No triângulo ΔPAB:
[tex3] PA + PB > AB \implies 3k + k > AB \implies 4k > AB\\
PA - PB < AB \implies 3k - k < AB \implies 2k < AB\\
\therefore 2k < AB < 4k (Inequação 1)[/tex3]

No triângulo ΔPAC:
[tex3]PA + PC > AC \implies 3k + 2k > AC \implies 5k > AC\\
PA - PC < AC \implies 3k - 2k < AC \implies k < AC\\
\therefore k < AC < 5k (Inequação 2)
[/tex3]

No triângulo ΔPBC:
[tex3]PB + PC > BC \implies k + 2k > BC \implies 3k > BC\\
PC - PB < BC \implies 2k - k < BC \implies k < BC\\
\therefore k < BC < 3k (Inequação 3)
[/tex3]

AB + AC + BC = 24
2k + k + k < AB + AC + BC
4k < 24
k < 6

AB + AC + BC < 4k + 5k + 3k
24 < 12k
2 < k

Juntando as duas desigualdades, temos:
2 < k < 6

AP = 3k.

Para encontrar o valor mínimo de AP, vamos usar o valor mínimo de k:
[tex3] AP_{min} = 3 \times (\text{valor ligeiramente maior que 2}) \implies AP_{min\_inteiro} = 3 \times 3 = 9[/tex3].

Para encontrar o valor máximo de AP, vamos usar o valor máximo de k:
[tex3] AP_{max} = 3 \times (\text{valor ligeiramente menor que 6}) \implies AP_{max\_inteiro} = 3 \times 5 = 15.[/tex3]

Os valores inteiros possíveis para AP são 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Portanto, o valor mínimo inteiro é 9 e o valor máximo inteiro é 15.

A soma do valor máximo e mínimo inteiros de AP é: 9 + 15 = 24

A soma do valor máximo e mínimo inteiros que AP pode assumir é **24**.