ITA 1968 ⇒ Questão 09 - ITA-1968

[petrasMOD]

A função x = arcsen y é univocamente determinada para:
A) 0 ≤ x ≤ π
B) 0 < x ≤ 2π
C) -π ≤ x ≤ π
D) 0 ≤ x ≤ 2kπ, k = 1,2,3, …
E) -π/2 ≤ x ≤ π/2

A função x = arcsen y é a função inversa da função seno. Para que uma função trigonométrica tenha uma inversa, seu domínio precisa ser restringido a um intervalo onde ela seja **bijetora** (injetora e sobrejetora).

A função y = sen x por si só não é injetora, pois para cada valor de y (entre -1 e 1) existem infinitos valores de x. Por exemplo, sen(0) = sen([tex3]\pi [/tex3]) = sen(2[tex3]\pi [/tex3]) = 0.

Para resolver esse problema e definir a função arcsen, o domínio da função seno é restrito ao intervalo[tex3] [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/tex3]. Nesse intervalo, a função seno é estritamente crescente e, portanto, injetora. A imagem da função seno nesse intervalo é [-1, 1].

Quando invertemos a função, o domínio da função original se torna a imagem da inversa, e a imagem da original se torna o domínio da inversa.

Função Seno: y = sen x
Domínio: [tex3][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/tex3]
Imagem: [-1, 1]

Função Arcseno: x = arcsen y
Domínio: [-1, 1]
Imagem :[tex3] [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/tex3]

O valor de x na função x = arcsen y é o ângulo (em radianos) cujo seno é y. A restrição do contradomínio para[tex3] [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] [/tex3]garante que, para cada valor de y, há apenas um único valor correspondente para x.

As opções A, B, C e D incluem valores de x fora do intervalo principal [[tex3]- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}],[/tex3] onde a função seno não é injetora. Por exemplo, arcsen(0) não seria univocamente determinado se o intervalo fosse [0,[tex3]\pi [/tex3] ], pois tanto 0 quanto [tex3]\pi [/tex3] teriam o mesmo seno (0).