ITA 1968 ⇒ Questão 10 - ITA-1968

[petrasMOD]

Se [tex3]m \ne -1,\, y = \arcsen\frac{m-1}{m+1}[/tex3] é igual a:

A) [tex3]\arccos \frac{m-1}{m+1}[/tex3]
B) [tex3]\arctg \frac{m}{1+m^2}[/tex3]
C) [tex3]\arccos \frac{2 \sqrt m}{m+1}[/tex3]
D) [tex3]\arcsen \(1-\(\frac{m-1}{m+1}\)^2\)[/tex3]
E) Nenhuma das respostas acima.

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Se sabemos que [tex3]y = \arcsen \left(\frac{m-1}{m+1}\right)[/tex3], então, por definição, temos:
[tex3]\sen (y) = \frac{m-1}{m+1}[/tex3]

[tex3]\sen ^2(y) + \cos^2(y) = 1\\
\cos^2(y) = 1 - \sen^2(y)\\
\cos^2(y) = 1 - \left(\frac{m-1}{m+1}\right)^2\\\cos^2(y) = 1 - \frac{(m-1)^2}{(m+1)^2} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m+1)^2}\\

\cos(y) = \sqrt{\frac{4m}{(m+1)^2}} = \frac{\sqrt{4m}}{\sqrt{(m+1)^2}} = \frac{2\sqrt{m}}{m+1}[/tex3]

Como [tex3]\cos(y) = \frac{2\sqrt{m}}{m+1}[/tex3], a função inversa nos dá o valor de y:
[tex3]\boxed{y = \arccos\left(\frac{2\sqrt{m}}{m+1}\right)}[/tex3]