ITA 1968 ⇒ Questão 11 - ITA-1968

[petrasMOD]

A equação [tex3]3x^5-x^3+2x^2+x-1=0[/tex3] possue:

A) Tres raizes complexas e duas raizes reais
B) Pelo menos uma raíz real positiva.
C) Todas raizes inteiras.
D) Uma raiz complexa.
E) Nenhuma das respostas anteriores.

Teorema de Bolzano:

O teorema afirma que, se uma função f(x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a) . f(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de f(x) no intervalo aberto (a, b).

Nossa equação é um polinômio e, portanto, uma função contínua em todos os números reais.

Vamos testar valores inteiros simples para x para ver se encontramos uma mudança de sinal.

para x=0
[tex3]P(0) = 3(0)^5 - (0)^3 + 2(0)^2 + (0) - 1 = -1[/tex3]

para x=1
[tex3]P(1) = 3(1)^5 - (1)^3 + 2(1)^2 + (1) - 1 = 3 - 1 + 2 + 1 - 1 = 4[/tex3]

Como P(0) = -1 e P(1) = 4, eles têm sinais opostos. De acordo com o Teorema de Bolzano, deve haver pelo menos uma raiz real no intervalo (0, 1). Como este intervalo está no eixo positivo dos números reais, concluímos que a equação possui pelo menos uma raiz real positiva.