ITA 1968 ⇒ Questão 14 - ITA-1968

[petrasMOD]

Quais os valores de x que satisfazem a equação cos x - cos x/2 = 2.

A) -π/2 ≤ x ≤ π/2
B) x = Kπ, K inteiro qualquer
C) x = (K+1)π, K inteiro qualquer
D) x = (2K+2)π, K inteiro qualquer
E) x = (4K+2)π, K inteiro qualquer
[tex3]
cos(x) = 2cos^2(\frac{x}{2}) - 1.
[/tex3]
Substituindo na equação original, obtemos:
[tex3](2cos^2(\frac{x}{2}) - 1) - cos(\frac{x}{2}) = 2\\
2cos^2(\frac{x}{2}) - cos(\frac{x}{2}) - 3 = 0[/tex3]

Seja [tex3]y = cos(\frac{x}{2})[/tex3]:
[tex3]2y^2- y - 3 = 0\\
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} =\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} =\frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}\\
y = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4}= \frac{1 \pm 5}{4}[/tex3]
[tex3]y_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\\
y_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1[/tex3]


Caso 1:cos([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) = [tex3]\frac{3}{2}[/tex3].
O valor do cosseno de qualquer ângulo deve estar no intervalo [-1, 1]. Como [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] = 1.5 está fora desse intervalo, esta solução não é válida.

Caso 2: cos([tex3]\frac{x}{2}[/tex3]) = -1.
Para que o cosseno de um ângulo seja -1, esse ângulo deve ser um múltiplo ímpar de [tex3]\pi [/tex3].
[tex3]\frac{x}{2} = (2k+1)\pi[/tex3]
onde k é um número inteiro qualquer.
[tex3]x = 2(2k+1)\pi = \boxed{(4k+2)\pi}[/tex3]