ITA 1968 ⇒ Questão 19 - ITA-1968

[petrasMOD]

Seja y = ^{alog tgx} com 0 < a < 1, onde log u indica o logaritmo neperiano de u. Então log y ≥ 0 se:

A) π/2 < x ≤ π e 3π/2 < x ≤ 2π
B) 0 ≤ x < π/2 e π ≤ x ≤ 3π/2
C) 0 < x ≤ π/4 e π < x ≤ 5π/4
D) 0 ≤ x ≤ π/4 e π ≤ x ≤ 5π/4
E) 0 < x ≤ 3π/2

A condição é [tex3]\log(y) \geq 0.[/tex3]

Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação de y, temos:

[tex3]\log(y) = \log(a^{\log(\tg(x))})[/tex3]

[tex3]log(y) = \log(\tg(x)) \cdot \log(a)[/tex3]

[tex3]\therefore \log(\tg(x)) \cdot \log(a) \geq 0[/tex3]

0 < a < 1.
Para qualquer número a neste intervalo, o seu logaritmo natural, log(a) será negativo.

Sendo log(a) um valor negativo, para que o produto log(tg(x)) . log(a) seja maior ou igual a zero,log(tg(x)) deve ser menor ou igual a zero.

[tex3]\log(\tg(x)) \leq 0[/tex3]

Para que log(tg(x)) seja definido, tg(x) deve ser maior que zero.
Para que log(tg(x)) [tex3]\leq [/tex3]0, tg(x) deve ser menor ou igual a 1.
As duas condições nos dão 0 < tg(x) [tex3]\leq[/tex3] 1.

Analisando as alternativas corrigidas, a resposta para a questão sobre a desigualdade log(y) ≥ 0 se torna mais clara.

A condição log(y)≥0 nos leva à desigualdade 0 < tg(x )≤1.

Para encontrar os valores de x que satisfazem essa condição, vamos considerar os intervalos onde a função tangente é positiva e menor ou igual a 1.

Análise no Círculo Trigonométrico
A tangente é positiva no primeiro e terceiro quadrantes.

No primeiro quadrante (0 < x < π/2), a função tg(x) cresce de 0 a [tex3]\infty [/tex3]. Para que 0 < tg(x) ≤ 1, o valor de x deve estar entre 0 (não incluso) e o valor onde a tangente é 1. Como tg(π/4 )=1, o intervalo de x é (0,π/4].

No terceiro quadrante (π < x < 3π/2), a função tg(x) também cresce de 0 a [tex3]\infty [/tex3]. Para que 0 < tg(x) ≤ 1, o valor de x deve estar entre π (não incluso) e o valor onde a tangente é 1. Como a tangente tem período π, tg(π + π/4)=tan(5π/4)=1. O intervalo de x é (π,5π/4].


Os intervalos de x que satisfazem essa condição são [tex3]\boxed{0 < x \leq \pi/4 ~e ~\pi < x \leq 5\pi/4}[/tex3], que correspondem à alternativa C).