Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 116 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Os catetos AB e BC de un triângulo retângulo ABC medem 12 cm e 5cm.
Mantendo fixo o ponto A se faz girar AC, até a posião AC'; tal que CC' tome seu mínimo
valor inteiro par; Quanto é este valor

Resposta

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Gabarito: 2cm

[petrasMOD]

Comprimento da hipotenusa AC.
[tex3]AC^2 = AB^2 + BC^2 =12^2 + 5^2 = 169\\
\therefore AC = 13[/tex3]
Como o segmento AC é girado em torno do ponto A para a posição AC', o comprimento do segmento não muda. Portanto, AC' = AC = 13

Triângulo ACC'. O segmento CC' é a distância que queremos minimizar.
AC = 13 cm
AC' = 13 cm
CC' = x

AC + AC' > CC$
13 + 13 > CC'
CC' < 26
A diferença entre dois lados é sempre menor que o terceiro lado:
|AC' - AC| < CC'
|13 - 13| < CC'
CC' > 0
Portanto 0 < CC' < 26.

O menor valor par possível para CC' é 2.
Verificando:
O valor de CC é determinado pelo ângulo de rotação de AC em torno de A. A distância CC' é a corda que une os pontos C e C' em um círculo de raio 13 cm centrado em A.
A fórmula para o comprimento de uma corda é:
[tex3]CC' = 2 \times AC \times \sen(\frac{\theta}{2})[/tex3]
Onde [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo de rotação.
Para que CC' = 2 seja um valor possível, precisamos verificar se existe um ângulo [tex3]\theta[/tex3] que satisfaça a equação:
[tex3]2 = 2 \times 13 \times \sen(\frac{\theta}{2})\\
1 = 13 \times \sen(\frac{\theta}{2})\\
sen(\frac{\theta}{2}) = 1/13[/tex3]

Como o valor de 1/13 está entre 0 e 1, existe um ângulo [tex3]\frac{\theta}{2} [/tex3]cujo seno é 1/13. Portanto, existe um ângulo [tex3]\theta [/tex3] que resulta em CC' = 2.

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### Conclusão

O comprimento $AC$ é 13 cm. O segmento $AC'$ também tem 13 cm. A distância entre $C$ e $C'$ pode variar de um valor próximo a zero (quando a rotação é mínima) até um valor máximo de 26 cm (quando a rotação é de 180° e C' está no lado oposto de C).

O problema pede o **mínimo valor inteiro par** que $CC'$ pode assumir. O menor valor inteiro positivo é 1, e o menor valor inteiro par positivo é 2. Como $CC'$ é uma distância, ela pode assumir qualquer valor real no intervalo $(0, 26)$. Como podemos alcançar o valor $CC'=2$ com uma rotação adequada, este é o menor valor inteiro par possível.

Portanto, o valor é 2 cm.