Triângulos - 2008 - Vol. 2 ⇒ 119 - Triângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo ABC os lados AB, BC e CA medem : 2a - 1 , 6 - a e 3a - 1. Calcule la medida do menor ângulo interno se sabemos que "a" é um número inteiro.

Resposta

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Gabarito: 37^o

[petrasMOD]

Para que os lados de um triângulo existam, cada lado deve ter uma medida positiva. Portanto, temos três condições:

[tex3]2a - 1 > 0 \implies 2a > 1 \implies a > \frac{1}{2}\\
6 - a > 0 \implies 6 > a \implies a < 6\\
3a - 1 > 0 \implies 3a > 1 \implies a > \frac{1}{3}[/tex3]

Combinando as três condições, temos que[tex3]\frac{1}{2} < a < 6[/tex3]. Como o problema afirma que "a" é um número inteiro, os possíveis valores para '"a" são: 1, 2, 3, 4, 5.

Agora, vamos aplicar a Desigualdade Triangular,
[tex3](2a - 1) + (6 - a) > (3a - 1) \implies a + 5 > 3a - 1 \implies 6 > 2a \implies 3 > a\\
(2a - 1) + (3a - 1) > (6 - a) \implies 5a - 2 > 6 - a \implies 6a > 8 \implies a > \frac{4}{3}\\ \therefore a \ge 2 (pois ~a ~é ~inteiro) \\
(6 - a) + (3a - 1) > (2a - 1) \implies 2a + 5 > 2a - 1 \implies 5 > -1 (sempre verdade)[/tex3]

Combinando todas as condições ([tex3]a \ge 2[/tex3] e a < 3), o único valor inteiro possível para 'a' é 2.

AB = 2a - 1 = 2(2) - 1 = 3
BC = 6 - a = 6 - 2 = 4
CA = 3a - 1 = 3(2) - 1 = 5

Os lados do triângulo são 3, 4 e 5. Portanto o triângulo ABC é um triângulo retângulo, com o ângulo reto (90°) oposto ao lado mais longo (AC = 5).

Em qualquer triângulo, o menor ângulo é oposto ao menor lado. O menor lado do nosso triângulo é AB, com medida 3. Portanto, o menor ângulo é o ângulo C, oposto ao lado AB.

[tex3]\sen C = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}
[/tex3]

[tex3]C = \arcsen(\frac{3}{5})= \boxed{37^o}[/tex3]