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Elementos Da Matemática Volume 5 (Exercícios Gerais)
Enviado: 29 Set 2025, 18:45
por BalekiEN
Prove que:
[tex3]1+a.Cos(\theta) + a^{2}.Cos(2\theta )+...=\frac{1-aCos(\theta )}{1-2aCos(\theta )+a^{2}} [/tex3]
Minha tentativa:
Re: Elementos Da Matemática Volume 5 (Exercícios Gerais)
Enviado: 29 Set 2025, 22:04
por jedi
[tex3]1+a.\cos(\theta)+a^2.c\cos(2\theta)+\dots=1+a\frac{(e^{i\theta}+e^{-i\theta})}{2}+a^2\frac{(e^{i2\theta}+e^{-i2\theta})}{2}+\dots[/tex3]
[tex3]=\frac{1+ae^{i\theta}+a^2e^{i2\theta}+\dots}{2}+\frac{1+ae^{-i\theta}+a^2e^{-i2\theta}+\dots}{2}[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-ae^{i\theta}}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1-ae^{-i\theta}}[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{2}.\left(\frac{1-ae^{-i\theta}+1-ae^{i\theta}}{(1-ae^{i\theta}).(1-ae^{-i\theta})}\right)[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{2}.\left(\frac{2-2a\cos(\theta)}{1-e^{i\theta}-e^{-i\theta}+a^2}\right)[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{2}.\left(\frac{2-2a\cos(\theta)}{1-2a\cos(\theta)+a^2}\right)[/tex3]
[tex3]=\frac{1-a\cos(\theta)}{1-2a\cos(\theta)+a^2}[/tex3]