ITA 1978 ⇒ (ITA-1978) - (Apenas para Consulta) - Prova Completa

[JigsawMOD]

MINISTÉRIO DA AERONAUTICA
DEPARTAMENTO DE PESQUISAS E DESENVOLVIMENTO
CENTRO TÊCNICO AEROESPACIAL
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
CONCURSO DE ADMISSÃO - 1978
EXAME DE MATEMATICA
INSTRUÇÕES
1. A duração da prova é de 3h30min (três horas e meia).
2. A prova de Matemática consta de 20 (vinte) questões de múltipla escolha.
3. Só há uma resposta certa em cada questão.
4. NÃO DEIXE DE RESPONDER NENHUMA QUESTÃO. QUANDO EM DÚVIDA, ASSINALE A RESPOSTA QUE LHE PARECER MAIS CORRETA.
5. Questões não respondidas ocasionam rejeição do cartão pelo computador, podendo prejudicar o candidato.
6. Assinale com um traço de lápis o espaço correspondente a cada questão, na Folha de Respostas.
7. Verificando algum engano nas respostas poderá corrigí-lo usando borracha macia. Ao passar da Folha de Respostas para o cartão IBM, preencha fortemente todo o espaço correspondente à alternativa de cada questão, apenas com lápis n° 1.
8. O agente fiscal fornecerá papel para rascunho, o qual não será considerado na correção da prova.
9. Não será permitido o uso de tabelas, régua de cálculo, maquina de calcular, apontamentos, formulários e outros papéis a não ser os fornecidos pelo fiscal.
10. O caderno de questões contém páginas numeradas de 1 a 11.
11. N.D.A. significa "nenhuma das respostas anteriores".
12. Indicaremos por R o conjunto dos números reais.
13. Vamos designar o limite:
[tex3]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}[/tex3]= 2, 71828... pela letra e.
14. log_e significa logarítmo neperiano, isto é, na base e.
15. Rez e Ima significam a parte real e imaginaria do numero complexo z respectivamente.
16. Denotaremos o módulo de um número x por | x |.
17. Denotaremos o comprimento de um segmento de reta AB por AB .
18. Lidas as presentes instruções e preenchido o cabeçalho da folha de respostas
aguarde ordem do fiscal para iniciar o exame.

Questão 01: Quais as sentenças falsas nos itens abaixo?
I. Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles sempre interceptam o outro plano;
II. Se em dois planos, num deles existem duas retas distintas paralelas ao outro plano, os planos são sempre paralelos;
Ill. Em dois planos paralelos, todas as retas de um são paralelas ao outro plano;
IV. Se uma reta é paralela a um plano, em tal plano existe uma infinidade de retas paralelas aquela reta;
V. Se uma reta é paralela a um plano, será paralela a todas as retas do plano.
(A) I; II; III.
(B) I; II; V.
(C) I; III; IV.
(D) II; III; IV.
(E) N.D.A.

Questão 02: Examinando o sistema abaixo
5x + 4y - 2z = 0
x + 8y + 2z = 0
2x + y - z = 0
podemos concluir que:
(A) o sistema é determinado.
(B) o sistema é indeterminado com 2 incógnitas arbitrárias.
(C) o sistema é indeterminado com 1 (uma) incógnita arbitrária.
(D) o sistema é impossível.
(E) N.D.A.

Questão 03: O lugar geométrico, no plano complexo, representado pela equação: z[tex3]\overline{z}[/tex3] - z₀[tex3]\overline{z}[/tex3] - [tex3]\overline{z}[/tex3]₀z + k = 0, onde k é um número real positivo e
| z₀² | > k,
(A) uma hipérbole com centro z₀.
(B) uma elipse com um dos focos em z₀.
(C) uma circunferência com centro em z₀.
(D) uma parábola com vértice em z₀.
(E) N.D.A.

Questão 04: Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B ⊂ R e o conjunto f^-1 (B) = {x ∈ R : f(x) ∈ B}, então:
(A) f(f^-1(B)) ⊂ B.
(B) f(f^-1(B)) = B se f é injetora.
(C) f(f^-1(B)) = B.
(D) f^-1(f(B)) = B se j e sobrejetora.
(E) N.D.A.

Questão 05: Sejam r₁ e r₂, respectivamente, as características das matrizes incompleta e completa do sistema abaixo:
3x + 2y + Kz = 3
x + y + z = 0
-x - y + Kz = 0
e M = (K + r₁ + r₁)²
Quais as condições sobre M e k, de modo que o sistema acima admita solução única?
(A) M = 25 e k = - 1.
(B) M ≠ 25 e k = - 1.
(C) M ≠ 25 e k ≠ - 1.
(D) M = 25 e k ≠ -1.
(E) N.D.A.

Questão 06: Seja f(x) uma função real de variável real. Se para todo x no domínio de f temos f(x) = f(-x), dizemos que a função é par; se, no entanto, temos f(x) = -f(x), dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função [tex3]g(x)=log_e[senx+\sqrt{1+sen^{2}x}][/tex3], podemos afirmar que:
(A) está definida apenas para x ≥ 0.
(B) é uma função que não é par nem impar.
(C) é uma função par.
(D) é uma função ímpar.
(E) N.D.A.

Questão 07: Sejam a matriz [tex3]A=\begin{vmatrix}
1 & k \\
2 & -1 \\
\end{vmatrix}[/tex3], k é real, e k [tex3]\neq \frac{1}{2}[/tex3] e a progressão geométrica [tex3]a_1, a_2,a_3,...,a_n[/tex3] de razão q > 0, a_i = q^i-1 det A, i = 1,2,3,..., n. Se a₃ = det B, com [tex3]B=\begin{vmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{k}{3} \\
2 & -1 \\
\end{vmatrix}[/tex3] e a soma dos 16 (dezesseis) primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a [tex3]\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3] podemos dizer que:
(A) k = 1 - 3^-8.
(B) k é um número negativo.
(C) k = 1 + 3^-8.
(D) k ≥ 0.
(E) N.D.A.

Questão 08: Seja a uma constante real. Eliminando θ das equações abaixo:
x. senθ + y. cosθ = 2a. sen2θ
x. cosθ - y. senθ = a. cos2θ
Obtemos:
(A) [tex3](x+y)^{\frac{2}{3}}+(x-y)^{\frac{2}{3}}=2a^{\frac{2}{3}}[/tex3]
(B) [tex3](x-y)^{\frac{2}{3}}+(x-y)^{\frac{2}{3}}=2a^{\frac{2}{3}}[/tex3]
(C) [tex3](x+y)^{\frac{2}{3}}+(y-x)^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}[/tex3]
(D) [tex3](x+y)^{\frac{2}{3}}+(x-y)^{\frac{2}{3}}=\frac{a^{\frac{2}{3}}}{2}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 09: Sejam P um ponto interior de um triângulo equilátero MNQ de lado 2λ, [tex3]\overline{PA}[/tex3] = x, [tex3]\overline{PB}[/tex3] = y, [tex3]\overline{PC}[/tex3] = z as respectivas distâncias do ponto P aos lados [tex3]\overline{MN}[/tex3], [tex3]\overline{MQ}[/tex3] e [tex3]\overline{NQ}[/tex3] e xy = xz = yz = [tex3]\frac{\lambda ^{2}}{9}[/tex3]. Então, o valor de [tex3]x^{2}+y^{2}+z^{2}[/tex3] é:
(A) 3 [tex3]\frac{\lambda ^{2}}{2}[/tex3].
(B) 5 [tex3]\frac{\lambda ^{2}}{4}[/tex3].
(C) 7 [tex3]\frac{\lambda ^{2}}{3}[/tex3].
(D) impossível de ser obtido, pois a posição do ponto P não está determinada no triângulo.
(E) N.D.A.

Questão 10: Seja z um número complexo. Se [tex3]z+\frac{1}{z}[/tex3] é um número real então podemos afirmar:
(A) z ≠ 0 e Rez ≥ 0.
(B) Imz = 0 ou | z | = 1.
(C) é necessariamente um número real.
(D) [tex3]z^{2}[/tex3] = -1.
(E) N.D.A.

Questão 11: Seja [tex3]f(x)=a_mx^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0[/tex3], onde [tex3]a_m,a_{m-1},...,a_1,a_0[/tex3], são reais e a_m ≠ 0 e a₀ ≠ 0. Se f(1) é solução real da equação [tex3]2^{x-3}+2^{x-4}=2^{x-2}-2^{x-1}+14[/tex3] e f(-1) = 2f(1) e a₀ = 2f(-1), então podemos afirmar:
(A) f(x) tem somente raízes reais positivas.
(B) f(x) tem somente raízes negativas.
(C) f(x) tem somente raízes reais inteiras.
(D) f(x) não tem raízes reais inteiras.
(E) N.D.A.

Questão 12: Se numa esfera de raio R, circunscrevemos um cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro da base, então a expressão do volume deste cone em função do raio da esfera é dada por:
(A) [tex3]3\pi R^{3}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2}\pi R^{3}[/tex3]
(C) [tex3]3\sqrt{3}\pi R^{3}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{4\sqrt{3}}{3}\pi R^{3}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 13: Sejam [tex3]x_1,x_2,x_3,...,x_6[/tex3] raízes do polinômio [tex3]P(x)=6x^{6}-35x^{5}+56x^{4}+35x-6[/tex3], então:
(A) P(x) admite mais de duas raízes negativas.
(B) [tex3]\sum_{j=1}^{6}x_j>\sum_{j=1}^{6}\frac{1}{x_j}[/tex3]
(C) P(x) admite duas raízes irracionais.
(D) [tex3]\sum_{j=1}^{6}x_j=0[/tex3] pois P(x) = 0 é uma equação reciproca.
(E) N.D.A.

Questão 14: Se a > 1, o valor real de m para o qual a equação [tex3]x^{3}-9x^{2}+(log_ea^{m}+8)x-log_ea^{m}=0[/tex3] tenha raízes em progressão aritmética é dado por.
(A) [tex3]m=log_ea-8[/tex3] ou [tex3]m=-9a[/tex3]
(B) [tex3]m=log_ea-9[/tex3]
(C) [tex3]m=\frac{15}{log_ea}[/tex3]
(D) [tex3]m=-\frac{9}{8}log_ea[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 15: Os catetos b e c de um triângulo retângulo de altura h (relativa à hipotenusa) são dados pelas seguintes expressões:
[tex3]b=\sqrt{k+\frac{1}{k}}[/tex3] e [tex3]c=\sqrt{k-\frac{1}{k}}[/tex3]
onde k é um número real maior que 1. Então o valor de h em função de k é:
(A) [tex3]\frac{\sqrt{k^{2}-1}}{2k}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{k^{2}-1}{k^{2}-2}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{\sqrt{1+k^{2}}}{-1-k^{2}}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{\sqrt{2(k^{2}-1)}}{2k}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 16: Sejam y = F(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) uma função real de variável real e x = x_n (n = 1,2, 3, 4,...) uma progressão aritmética de razão r > 0. Nestas condições, uma das alternativas abaixo é correta:
(A) y_n = F(x_n), (n = 1,2,3,...) constitui uma progressão aritmética de razão a^r.
(B) y_n = F(x_n), (n = 1, 2,3,...) é uma progressão geométrica de razão -a^r.
(C) y_n = F(x_n), (n = 1,2,3,...) não é progressão aritmética e nem progressão geométrica.
(D) y_n = F(x_n), (n = 1,2,3,...) é uma progressão geométrica de razão q > 1, se admitirmos que a < 1.
(E) N.D.A.

Questão 17: Consideremos a função real de variável real definida por:
[tex3]f(x)=\begin{cases}
2x^{3}+1,\text{se}\ x \leq2 \\
\frac{1}{x-2}, \text{se}\ 2<x \leq3 \\
2x-5,\text{se}\ x>3
\end{cases}[/tex3]
Se a = log₂1024 e x₀ = a - 6, então o valor da função f(x) no ponto x₀, f(x₀), é dado por:
(A) f(x₀) = 1.
(B) f(x₀) = 2.
(C) f(x₀) = 3.
(D) f(x₀) = [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
(E) N.D.A.

Questão 18: Qual das funções definidas abaixo é bijetora?
Obs.: R⁺ = {x ∈ R : x ≥ 0} e [a, b] é o intervalo fechado.
(A) f: R → R⁺ tal que f(x) = x²
(B) f: R⁺ → R⁺ tal que f(x) = x + 1.
(C) f: [1,3] → [2,4] tal que f(x) = x + 1.
(D) f: [0,2] → R tal que f (x) = senx.
(E) N.D.A.

Questão 19: A soma de todos os valores de x que satisfazem a identidade abaixo:
[tex3]g^{x-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3^{1-x}}=-1[/tex3], é:
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) N.D.A.

Questão 20: Seja o triângulo de vértices A : (1,2), B : (2,4) e C : (4,1), no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo ao lado AC é:
(A) [tex3]\frac{9\sqrt{10}}{70}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{9}{70}[/tex3]
(C) [tex3]8\sqrt{10}[/tex3]
(D) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
(E) N.D.A.