IME / ITA ⇒ Aritmética Elementar - Divisibilidade Tópico resolvido

[pinheiroawk]

Um número de quatro algarismos, representado por abcd, na divisão por seis, deixa resto 1. Então, o número bcda, quando dividido por seis, deixará quanto de resto?

Resposta

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Se o algarismo "a" for ímpar, o resto continuará 1, caso contrário o resto será 4.

[petrasMOD]

Expressando o número bcda em função de abcd:
[tex3]bcda = 10 \cdot (100b + 10c + d) + a[/tex3]
Substituindo [tex3]100b + 10c + d = abcd - 1000a[/tex3]:
[tex3]bcda = 10 \cdot (abcd - 1000a) + a[/tex3]
[tex3]bcda = 10 \cdot abcd - 10000a + a[/tex3]
[tex3]bcda = 10 \cdot abcd - 9999a[/tex3]

Substituímos os coeficientes e o número abcd pelos seus restos na divisão por 6:
[tex3]abcd \equiv 1 \pmod{6}[/tex3] (Dado)
[tex3]10 \equiv 4 \pmod{6}[/tex3]
[tex3]9999 \equiv 3 \pmod{6}[/tex3]

Aplicando a congruência:
[tex3]bcda \equiv 4 \cdot (1) - 3a \pmod{6}[/tex3]
[tex3]bcda \equiv 4 - 3a \pmod{6}[/tex3]

O resto depende do algarismo a:

Se a é ímpar ([tex3]a \in \{1, 3, 5, 7, 9\}[/tex3]):
3a será um múltiplo de 3, mas não de 6. Portanto, [tex3]3a \equiv 3 \pmod{6}[/tex3].
[tex3]bcda \equiv 4 - 3 \equiv 1 \pmod{6}[/tex3]
O resto é 1.

Se a é par ([tex3]a \in \{2, 4, 6, 8\}[/tex3]):
3a será um múltiplo de 6. Portanto, [tex3]3a \equiv 0 \pmod{6}[/tex3].
[tex3]bcda \equiv 4 - 0 \equiv 4 \pmod{6}[/tex3]
O resto é 4.
(Solução:net)

[pinheiroawk]

Muito obrigado, mestre!

[pinheiroawk]

@pinheiroawk

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[pinheiroawk]

Ok, mestre! Muito obrigado.

[ArquiBaude]

É interessante brincar com alguns números e ver o resultado: 1249 deixa resto 1 e 2491 também, 1237 apresenta o mesmo comportamento, mas 2407 deixa resto 1, enquanto 4072 deixa resto 4.

Temos:
[tex3]abcd \equiv 1 \pmod6 [/tex3]
E queremos saber:
[tex3]bcda \equiv ? \pmod6 [/tex3]

Sabemos que o número antecessor de abcd é múltiplo de 6, e logo múltiplo de 3. Todo múltiplo de 6 termina em um algarismo dentre [tex3]{0,6,2,8,4}[/tex3], logo abcd termina em algum algarismo dentre [tex3]1,7,3,9,5[/tex3], portanto a soma dos digitos de abcd é a+b+c+d, enquanto que a soma dos dígitos de abcd-1, seu antecessor, é a+b+c+d-1.(*)

Como abcd-1 é multiplo de 3, então a soma de seus dígitos é um múltiplo de 3.

[tex3]a+b+c+d-1 = 3k[/tex3] para um k inteiro.

Ou, ainda [tex3]b+c+d = 3k +1 -a [/tex3] (i), que será usada adiante.

Vamos escrever o número bcda em base 10 e reduzi-lo módulo 6

[tex3]10^3b+10^2c+10d+a \equiv? \pmod6[/tex3]

[tex3]4b+4c+4d+a \equiv? \pmod6[/tex3] já que 1000, 100 e 10 deixam resto 4 na divisão por 6

[tex3]4(b+c+d)+a \equiv? \pmod6[/tex3]

Usando (i)
[tex3]12k+4-4a+a \equiv? \pmod6[/tex3]

[tex3]4-3a \equiv? \pmod6[/tex3]

A partir disso, vamos ver o que acontece se a for ímpar e a for par.

Caso: a ímpar

[tex3]4-3a \equiv? \pmod6[/tex3]

[tex3]1+3-3a \equiv? \pmod6[/tex3]

[tex3]1+3(1-a )\equiv? \pmod6[/tex3]

1-a é par, logo 3(1-a) é múltiplo de 6

[tex3]1 \equiv 1 \pmod6[/tex3]

Conclusão: Se a é ímpar, o resto é 1.


Caso: a par

[tex3]4-3a \equiv? \pmod6[/tex3]

3a é múltiplo de 6
[tex3]4 \equiv4 \pmod6[/tex3]

Conclusão: Se a é par, o resto é 4.


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(*) Note que isso nem sempre é verdade para qualquer número, por isso a explicação mais detalhada. Um caso onde isso não acontece é 2000, cuja a soma dos algarismos é 2, ao passo que a soma de 1999 é 28. Esse tipo de problema não ocorre nos números tratados nessa questão.