Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2025/1-Discursiva) Polinômios Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Considere a operação [tex3]D[/tex3] que transforma um polinômio em outro polinômio da seguinte maneira: dado qualquer polinômio [tex3]P[/tex3], a transformação de [tex3]P[/tex3] por [tex3]D[/tex3] resulta em um novo polinômio [tex3] Q= D(P) [/tex3] definido por: [tex3]Q(x) = P(x + 1) – P(x) [/tex3] para todo [tex3]x[/tex3].

a) Dado o polinômio [tex3]P(x) = x³+ 1[/tex3], determine o polinômio resultante da aplicação de [tex3]D[/tex3] duas vezes sucessivas, ou seja, [tex3]D(D(P))[/tex3].

b) Explique por que, ao aplicar 4 vezes a transformação [tex3]D[/tex3] a qualquer polinômio [tex3]P[/tex3] de grau 3, obtemos o polinômio identicamente nulo.

[ProfLaplace]

a) [tex3]D(P)=Q \Rightarrow D(P)(x)=Q(x)=P(x+1)-P(x)=(x+1)^3+1-(x^3+1)[/tex3]
[tex3]=(x+1)^3-x^3=x^3+3x^2+3x+1-x^3=3x^2+3x+1.[/tex3]

[tex3]D(D(P))(x)=D(3x^2+3x+1)=3(x+1)^2+3(x+1)+1-(3x^2+3x+1)=3(x^2+2x+1)+3x+3+1-3x^2-3x-1=6x+6.[/tex3]
Resposta: [tex3]D(D(P))(x)=6x+6.[/tex3]

b) Do item a podemos intuir que a aplicação de [tex3]D[/tex3] faz o grau do polinômio abaixar uma unidade.
Vamos pegar um polinômio de grau 3 para mostrar isso: [tex3]P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0,[/tex3] onde [tex3]a_3\neq0.[/tex3]
[tex3]D(P)(x)=P(x+1)-P(x)=a_3(x+1)^3+a_2(x+1)^2+a_1(x+1)+a_0-(a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0)[/tex3]
Vão aparecer termos [tex3]a_3x^3[/tex3] e [tex3]-a_3x^3[/tex3] que se anulam, de modo que [tex3]D(P)(x)[/tex3] tem grau [tex3]\leq2.[/tex3]
Além disso, se vc computar a conta acima, vai ver que o termo de grau 2 é [tex3]3a_3x^2.[/tex3]
Mas como [tex3]P[/tex3] tem grau 3, segue que [tex3]a_3\neq0[/tex3] e portanto [tex3]3a_3\neq0.[/tex3]
Isso quer dizer que o grau de [tex3]D(P)(x)[/tex3] é exatamente 2.
Ou seja, se [tex3]P[/tex3] tem grau 3, [tex3]D(P)(x)[/tex3] tem grau 2.
Fazendo uma análise semelhante (faça vc), vc conclui que [tex3]D(D(P))(x)[/tex3] tem grau 1.
Então [tex3]D(D(D(P)))(x)[/tex3] tem grau 0 (mostre isso também), isto é [tex3]D(D(D(P)))(x)[/tex3] é um polinômio constante [tex3]k.[/tex3]
Aplicando [tex3]D[/tex3] pela quarta vez, teremos [tex3]D(D(D(D(P))))(x)=k-k=0,[/tex3] isto é, identicamente nulo.

OBS: É fácil perceber que [tex3]D[/tex3] faz o grau do polinômio abaixar uma unidade, porém é trabalhoso formalizar isso. Há duas opções para formalizar isso:
-> A que eu tentei indicar, que inclui provar varias vezes coisas parecidas: grau 3 vira 2, grau 2 vira 1, grau 1 vira 0...
-> A segunda opção seria vc provar de forma geral que grau n vira grau n-1.
Aqui vc teria que mostrar isso apenas uma vez, porém precisaria manipular somatórios.
(Deu pra entender? Não sei se ficou claro kkk).