Pré-Vestibular ⇒ (PUC RIO-2026/1) Função Modular Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Seja [tex3]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\,f(x) = |x - 20| - |x - 2| + |x + 2| - |x + 20|[/tex3].

Encontre todas as soluções reais de [tex3]f(f(f(f(x)))) = 4x[/tex3]

[petrasMOD]

@ALANSILVA

(Solução:PUCRIO)

[ALANSILVA]

Alguém pode explicar de forma mais detalhada a solução da PUC?

[cajuADMIN]

Olá, @ALANSILVA

A solução da PUCRIO foi bem esperta. O enunciado pede pra aplicar várias vezes a função [tex3]f[/tex3] sobre ela mesma.

Só que, em vez de aplicar a função de uma em uma, a solução criou uma função auxiliar [tex3]g(x)[/tex3] que é a função [tex3]f[/tex3] aplicada sobre si mesma 1 vez.

[tex3]g(x)=f(f(x))[/tex3]

Agora, pensando no pedido do enunciado, podemos enfiar [tex3]g(x)[/tex3] ali dentro:

[tex3]\text{pedido do enunciado}=f(f(\underbrace{f(f(x))}_{g(x)}))[/tex3]

[tex3]\text{pedido do enunciado}=f(f(\underbrace{g(x)}_{f(f(x))}))[/tex3]

Agora, essa última versão do pedido do enunciado nada mais é do que a função [tex3]g(x)[/tex3] aplicada sobre si mesma:

[tex3]\text{pedido do enunciado}=\overbrace{f(f(}^{g}\underbrace{g(x)}_{f(f(x))}))=g(g(x))[/tex3]

Então, em vez de aplicar 3 vezes a função [tex3]f[/tex3] sobre si mesma, aplica-se a função [tex3]h[/tex3] uma vez sobre si mesma.

Grande abraço,
Prof. Caju

[ALANSILVA]

Boa noite,
Vou postar aqui minha solução de forma resumida, com algumas explicações, porque o desenvolvimento da questão é enorme e braçal.
Eu não gostei do gabarito da banca, pois está resumida e sem detalhes.