Pré-Vestibular ⇒ (VUNESP) Tronco Tópico resolvido

[Vixcy]

Secciona-se o cubo ABCDEFGH, cuja aresta mede 1 m, pelo plano BDE, passando por vértices do cubo e pelo plano IJK, passando por pontos médios do cubo, como na figura. Calcule o volume do tronco de pirâmide IJKDBE, assim formado.

[ProfLaplace]

Vamos calcular primeiro o volume da pirâmide ADBE.
Ela pode ser entendida como uma pirâmide de base ADB e altura [tex3]AE=1[/tex3].
A área do triângulo ADB é
[tex3]A_b=\frac{1\cdot1}{2}=\frac{1}{2}.[/tex3]
Logo o volume da pirâmide ADBE é [tex3]V_1=A_b\cdot h\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\, m³[/tex3]
A outra pirâmide AIJK, de volume [tex3]V_2,[/tex3] é semelhante à primeira, com razão de semelhança [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
Fazendo uma semelhança entre comprimento-volume, temos
[tex3]\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]V_2=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{48}\, m³.[/tex3]
Obs: O volume [tex3]V_2[/tex3] também poderia ter sido calculado da mesma maneira que fiz o [tex3]V_1.[/tex3] Só fiz meio dessa semelhança pq normalmente é mais rápido.

Para finalizar, vamos calcular o volume [tex3]V[/tex3] do tronco:
[tex3]V=\frac{1}{6}-\frac{1}{48}=\frac{7}{48}\, m³.[/tex3]