Pré-Vestibular ⇒ (PUC RIO-2026/1) Circunferência Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Seja P a parábola de equação y = x²
Seja r um parâmetro real, r > 0. Considere Cr o círculo de centro (0,r) e raio r. Encontre o número de pontos (x,y) [tex3]\in \mathbb{R}^2[/tex3]comuns à parábola P e ao círculo Cr ; divida em casos, se necessário.

[ProfLaplace]

A equação da circunferência é [tex3]x^2+(y-r)^2=r^2.[/tex3]
Para achar as intersecções, basta resolver o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
y=x^2 \\
x^2+(y-r)^2=r^2
\end{cases}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]y+(y-r)^2=r^2 \Rightarrow y+y^2-2ry+r^2=r^2 \Rightarrow y^2+(1-2r)y=0.[/tex3]
Como a equação do segundo grau é incompleta, podemos resolver por fatoração:
[tex3]y(y+1-2r)=0 \Rightarrow y=0\, \, \, \text{ou}\, \, \, y=2r-1.[/tex3]

Se [tex3]r=\frac{1}{2},[/tex3] teremos apenas [tex3]y=0,[/tex3] que nos dará [tex3]x=0[/tex3] pela primeira equação.
Isto é, se [tex3]r=\frac{1}{2},[/tex3] temos apenas 1 ponto em comum entre a parábola e a circunferência [tex3]C_r,[/tex3] que seria o ponto [tex3](0,0).[/tex3]

Se [tex3]0<r<\frac{1}{2},[/tex3] teremos [tex3]y=0[/tex3] e um outro [tex3]y<0.[/tex3] Mas [tex3]y<0[/tex3] não nos dará nenhuma solução, pois [tex3]y=x^2[/tex3] e [tex3]x^2[/tex3] é sempre [tex3]\geq 0.[/tex3]. Teremos apenas [tex3](0,0)[/tex3] em comum novamente.

Se [tex3]r>\frac{1}{2},[/tex3] teremos um [tex3]y=0[/tex3] e um [tex3]y>0.[/tex3] O primeiro valor vai dar [tex3]x=0[/tex3] e o segundo valor vai dar 2 valores distintos para x. Isto é, teremos 3 pontos de intersecção.

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Resposta:
Se [tex3]0<r\leq\frac{1}{2},[/tex3] temos 1 ponto de intersecção.
Se [tex3]r>\frac{1}{2},[/tex3] temos 3 pontos de intersecção.

[ALANSILVA]

[tex3]r=\frac{1}{2}[/tex3] tem o ponto [tex3](0,0)[/tex3] tambem ne ?

[ProfLaplace]

ALANSILVA, sim!
Na resposta eu já agrupei os casos que davam o mesmo ponto [tex3](0,0).[/tex3]

[ALANSILVA]

Então no caso são 3 pontos de interseção?

[ProfLaplace]

ALANSILVA, são 3 no caso de termos [tex3]r>\frac{1}{2}[/tex3].