IME / ITA ⇒ (IME) Sistema de equações Tópico resolvido

[Jpgonçalves]

Dê o número de pares reais [tex3](x,\,y)[/tex3] tais que:

[tex3]\begin{cases}
x^{x+y}= y^{6} \\
y^{x+y}= x^{12}\cdot y^{6}
\end{cases}[/tex3]

[ProfLaplace]

Questãozinha bem trabalhosa, com inúmeras soluções.
Vamos lá:
Primeiro observe que todos os seguintes pares são soluções: (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1).
Observe também que nenhuma das letras pode ser 0.
Se x=0, teremos que ter y=0, mas (0,0) não resolve o sistema.
Analogamente, y=0 também implica x=0.
Ou seja, não há nenhuma solução onde alguma das letras seja zero.

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Agora eleve a segunda equação à 6:
[tex3]y^{6(x+y)}=x^{72}.(y^6)^6[/tex3]
Substitua a primeira equação nesta aqui:
[tex3](y^6)^{(x+y)}=x^{72}.(x^{(x+y)})^6[/tex3]
[tex3](x^{(x+y)})^{(x+y)}=x^{72}.(x^{(x+y)})^6[/tex3]
[tex3]x^{(x+y)^2}=x^{72+6(x+y)}[/tex3]
Vamos igualar os expoentes para ver o que dá.
(Observe que ambos os expoentes não podem ser zero ao mesmo tempo.
Se um dos dois expoentes for zero, vc vai chegar nas mesmas soluções acima mencionadas.)
[tex3](x+y)^2=72+6(x+y)[/tex3]
Substitua (x+y) por k.
[tex3]k^2=72+6k[/tex3]
Por Bhaskara, temos k=12 ou k=-6.

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Para k=12: temos x+y=12.
Na primeira eq, [tex3]x^{12}=y^6[/tex3].
Aplicando a raiz sexta (lembre-se de colocar o módulo):
[tex3]|x^2|=|y|[/tex3]
[tex3]x^2=|y|,[/tex3] pois [tex3]x^2[/tex3] é sempre [tex3]\geq 0.[/tex3]
-> Se [tex3]y>0,[/tex3] teremos [tex3]y=x^2.[/tex3]
Como [tex3]x+y=12,[/tex3] segue-se que [tex3]x+x^2=12.[/tex3]
Por Bhaskara, temos x=-4 ou x=3.
Achando os respectivos y's, teremos os pares (-4,16) e (3,9).
Vc pode checar na equação original que ambos satisfazem.
-> Se [tex3]y<0,[/tex3] temos [tex3]x^2=-y,[/tex3] donde [tex3]x-x^2=12.[/tex3]
Porém esta eq não possui raízes reais.

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Para k=-6: temos x+y=-6.
Na primeira eq, [tex3]x^{-6}=y^6 \Rightarrow \frac{1}{x^6}=y^6.[/tex3]
Tirando a raiz sexta:
[tex3]\frac{1}{|x|}=|y|.[/tex3]
Teremos dois casos: [tex3]\frac{1}{x}=y[/tex3] ou [tex3]-\frac{1}{x}=y.[/tex3]
-> Se [tex3]\frac{1}{x}=y,[/tex3] temos [tex3]x+\frac{1}{x}=-6.[/tex3]
Isso dá, por Bhaskara, [tex3]x=-3\pm2\sqrt{2}.[/tex3]
Após calcular cada y correspondente, teremos os seguintes pares: [tex3](-3+2\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})[/tex3] e [tex3](-3-2\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}).[/tex3]
Nós sabemos, por meio da racionalização, que [tex3]\frac{1}{-3-2\sqrt{2}}=-3+2\sqrt{2}.[/tex3]
Com base nesse fato, vc pode checar que ambas as soluções satisfazem o sistema original.
-> Se [tex3]-\frac{1}{x}=y,[/tex3] temos [tex3]x-\frac{1}{x}=-6.[/tex3]
Por Bhaskara, temos [tex3]x=-3\pm\sqrt{10}.[/tex3]
Teremos os pares [tex3](-3+\sqrt{10},-3-\sqrt{10})[/tex3] e [tex3](-3-\sqrt{10},-3+\sqrt{10}).[/tex3]
Essas duas soluções também funcionam.

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Resposta final: há 10 pares reais que são solução do sistema.

[Jpgonçalves]

Muito obrigado, @ProfLaplace!