Ensino Fundamental ⇒ Equações do Segundo Grau. Tópico resolvido

[IasminSS]

Resolver [tex3]\sqrt{2x-5}+(2x+5)^\frac{1}{2}=\sqrt{4x+20}[/tex3].

Minha resolução:
[tex3]\sqrt{2x-5}+(2x+5)^\frac{1}{2}=\sqrt{4x+20}\rightarrow x= \frac{5\sqrt{5}}{2} \text{ ou } x= -\frac{5\sqrt{5}}{2}[/tex3].

Testando as raízes:
[tex3]x= \frac{5\sqrt{5}}{2}\rightarrow \sqrt{2\cdot \frac{\sqrt{125}}{2}-5}+\sqrt{2\cdot \frac{\sqrt{125}}{2}+5}=\sqrt{4\cdot \frac{\sqrt{125}}{2}+20}\rightarrow [/tex3]
[tex3]\sqrt{5\(\sqrt{5}-1\)}+\sqrt{5\(\sqrt{5}+1\)}=\sqrt{10\sqrt{5}+20}\rightarrow \sqrt{125}-5+\sqrt{125}+5+2\sqrt{\(\sqrt{125}-5\)}=10\sqrt{5}+20[/tex3]
[tex3]2\sqrt{125} + 2\sqrt{\(\sqrt{125}\)^2-25}=10\(\sqrt{5}+2\)\rightarrow \sqrt{125}+\sqrt{100}=5\sqrt{5}+10\rightarrow 5\sqrt{5}+10=5\sqrt{5}+10[/tex3]. Essa raiz serve!

[tex3]x=-\frac{5\sqrt{5}}{2}\rightarrow \sqrt{2\cdot \left(-\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)-5}+\sqrt{2\cdot \left(-\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)+5}=\sqrt{4\cdot \left(-\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)+20}\rightarrow \sqrt{-5\(\sqrt{5}+1\)}+\sqrt{-5\(\sqrt{5}-1\)}=\sqrt{2\(-5\sqrt{5}\)+20}[/tex3]
[tex3]\(\sqrt{\(-5\sqrt{5}-5\)}\)^2+\(\sqrt{\(-5\sqrt{5}+5\)}\)^2+2\sqrt{\(-5\sqrt{5}-5\)\(-5\sqrt{5}+5\)}=2\(-5\sqrt{5}\)+20\rightarrow [/tex3]
[tex3]-5\sqrt{5}-5-5\sqrt{5}+5+2\sqrt{\(-5\sqrt{5}\)^2-25}=2\(-5\sqrt{5}+10\)\rightarrow -10\sqrt{5}+2\sqrt{100}=2\(-5\sqrt{5}+10\)\rightarrow -5\sqrt{5}+10=-5\sqrt{5}+10[/tex3]. Essa raiz também serve!

Pelos meus cálculos, as duas raízes encontradas servem, porém, de acordo com o gabarito, apenas [tex3]x= \frac{5\sqrt{5}}{2}[/tex3] serve como solução. Poderiam, fazendo um favor, me explicar em qual parte eu estou errando?

[cajuADMIN]

Olá, @IasminSS.

Em vez de testar cada uma das raízes encontradas, você poderia fazer a CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA das raízes quadradas no início.

Por exemplo, na [tex3]\sqrt{2x-5}[/tex3] temos que ter [tex3]2x-5\ge 0\Rightarrow\boxed{\boxed{x\ge\frac{5}{2}}}[/tex3]. Veja que a raiz [tex3]x=-\frac{5\sqrt{5}}{2}[/tex3] não satisfaz essa condição de existência, portanto não pode ser raiz da equação apresentada.

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Agora, a sua resolução tem que dar a mesma resposta, pois a técnica de "testar raízes" também tem que funcionar. Portanto, deve ter algum erro no seu teste. E tem! Veja só esse ponto do seu teste da raiz falsa:

[tex3]\(\sqrt{\(-5\sqrt{5}-5\)}\)^2+\(\sqrt{\(-5\sqrt{5}+5\)}\)^2+2\sqrt{\(-5\sqrt{5}-5\)\(-5\sqrt{5}+5\)} \stackrel{?}{=} 2\(-5\sqrt{5}\)+20 [/tex3]

Quando temos o QUADRADO de uma RAIZ QUADRADA, não podemos simplesmente cortar um com o outro. Na verdade, o quadrado da raiz quadrada resulta no MÓDULO do radicando. Portanto, o próximo passo após esse apresentado seria:

[tex3]\left\lvert -5\sqrt{5}-5\right\rvert+\left\lvert-5\sqrt{5}+5\right\rvert+2\sqrt{\(100\)} \stackrel{?}{=} -10\sqrt{5}+20[/tex3]

[tex3]5\sqrt{5}+5 + 5\sqrt{5}-5+20 \stackrel{?}{=} -10\sqrt{5}+20[/tex3]

[tex3]10\sqrt{5}+20 \stackrel{?}{=} -10\sqrt{5}+20[/tex3]

Ou seja, chegamos em uma falsidade. Logo, a segunda raiz não serve.

Grande abraço,
Prof. Caju

[IasminSS]

Obrigada pela resolução, mas tenho uma única dúvida.

Se [tex3]\left\lvert -5\sqrt{5}-5\right\rvert+\left\lvert-5\sqrt{5}+5\right\rvert+2\sqrt{\(100\)} \stackrel{?}{=} -10\sqrt{5}+20[/tex3], então de onde surge o -5 da expressão abaixo?

[cajuADMIN]

Olá, @IasminSS.

Temos o seguinte módulo: [tex3]\left\lvert-5\sqrt{5}+5\right\rvert[/tex3]

Veja que o modulando é um número negativo. Portanto, o módulo dele é menos ele mesmo:

[tex3]\big\lvert\underbrace{-5\sqrt{5}+5}_{\text{negativo}}\big\rvert=-\(-5\sqrt{5}+5\)=5\sqrt{5}-5[/tex3]

Assim como no outro módulo, que é [tex3]\left\lvert -5\sqrt{5}-5\right\rvert[/tex3]. Como o modulando é negativo, o módulo é menos ele mesmo:

[tex3]\big\lvert \underbrace{-5\sqrt{5}-5}_{\text{negativo}}\big\rvert = -\( -5\sqrt{5}-5\)=5\sqrt{5}+5[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[IasminSS]

Olá, @IasminSS.

Temos o seguinte módulo: [tex3]\left\lvert-5\sqrt{5}+5\right\rvert[/tex3]

Veja que o modulando é um número negativo. Portanto, o módulo dele é menos ele mesmo:

[tex3]\big\lvert\underbrace{-5\sqrt{5}+5}_{\text{negativo}}\big\rvert=-\(-5\sqrt{5}+5\)=5\sqrt{5}-5[/tex3]

Assim como no outro módulo, que é [tex3]\left\lvert -5\sqrt{5}-5\right\rvert[/tex3]. Como o modulando é negativo, o módulo é menos ele mesmo:

[tex3]\big\lvert \underbrace{-5\sqrt{5}-5}_{\text{negativo}}\big\rvert = -\( -5\sqrt{5}-5\)=5\sqrt{5}+5[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Consegui entender.
Obrigada!