Ensino Fundamental ⇒ Equações do Segundo Grau. Tópico resolvido

[IasminSS]

Quantos pontos as curvas de equações [tex3]x^2+y^2=4[/tex3] e [tex3]y=-x^2-2[/tex3] têm em comum?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4

Resposta

---

(B) 1

Minha resolução:
[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=4 \\
y=-x^2-2
\end{cases}[/tex3]
* Isolando [tex3]y[/tex3] na primeira equação: [tex3]y^2=4-x^2\rightarrow \sqrt{y^2}=\sqrt{4-x^2}\rightarrow y=\sqrt{4-x^2}[/tex3].
* Igualando as duas equações: [tex3]-x^2-2=\sqrt{4-x^2}\rightarrow (-x^2-2)^2=4-x^2\rightarrow (-x^2)^2+2(-x^2)(-2)+(-2)^2=4-x^2\rightarrow
x^4+5x^2=0 [/tex3].
* Vou definir que [tex3]x^2=t[/tex3], assim sendo, [tex3]x^4=t^2[/tex3]. Substituindo:
[tex3]t^2+5t=0\rightarrow t(t+5)=0\rightarrow S=(0,-5)[/tex3]
se [tex3]x^2=t\rightarrow x^2=0\rightarrow x=0.[/tex3]
se [tex3]x^2=-5\rightarrow[/tex3] impossível nos [tex3]\mathbb{R}[/tex3].

* Substituindo [tex3]x[/tex3] na equação original para verificar se [tex3]x=0[/tex3] serve como raiz:
[tex3]-x^2-2=\sqrt{4-x^2}\rightarrow -0^2-2=\sqrt{4-0^2}\rightarrow -2=2\rightarrow [/tex3] não serve como raiz!
Portanto, as equações [tex3]x^2+y^2=4[/tex3] e [tex3]y=-x^2-2[/tex3] não se interceptam.

Existe algum erro na minha resolução?

[cajuADMIN]

Olá, @IasminSS.

Seu erro está nessa passagem, um erro igual ao outro que eu lhe mostrei em outra resolução sua:

[tex3]y^2=4-x^2\rightarrow \sqrt{y^2}=\sqrt{4-x^2}\color{red}\xcancel{\rightarrow y=\sqrt{4-x^2}}[/tex3]

Quando temos raiz quadrada de um número ao quadrado, NÃO PODEMOS CORTAR O QUADRADO COM A RAIZ! Temos que substituir pelo MÓDULO. Ou seja, a passagem correta seria:

[tex3]y^2=4-x^2\rightarrow \sqrt{y^2}=\sqrt{4-x^2}\rightarrow \boxed{|y|=\sqrt{4-x^2}}[/tex3]

Mas, trabalhar com módulo sempre tem que ser segunda opção, pois ele introduz dificuldades que podem ser eliminadas com outras técnicas de resolução.

Por exemplo: nessa questão, como as duas equações apresentadas possuem gráficos fáceis de serem desenhados (um círculo e uma parábola). Desenhando esses dois gráficos no mesmo plano cartesiano dá pra concluir quantos pontos há de intersecção entre os dois gráficos que é exatamente os pontos em comum das equações

Grande abraço,
Prof. Caju

[IasminSS]

Olá, @IasminSS.

Seu erro está nessa passagem, um erro igual ao outro que eu lhe mostrei em outra resolução sua:

[tex3]y^2=4-x^2\rightarrow \sqrt{y^2}=\sqrt{4-x^2}\color{red}\xcancel{\rightarrow y=\sqrt{4-x^2}}[/tex3]

Quando temos raiz quadrada de um número ao quadrado, NÃO PODEMOS CORTAR O QUADRADO COM A RAIZ! Temos que substituir pelo MÓDULO. Ou seja, a passagem correta seria:

[tex3]y^2=4-x^2\rightarrow \sqrt{y^2}=\sqrt{4-x^2}\rightarrow \boxed{|y|=\sqrt{4-x^2}}[/tex3]

Mas, trabalhar com módulo sempre tem que ser segunda opção, pois ele introduz dificuldades que podem ser eliminadas com outras técnicas de resolução.

Por exemplo: nessa questão, como as duas equações apresentadas possuem gráficos fáceis de serem desenhados (um círculo e uma parábola). Desenhando esses dois gráficos no mesmo plano cartesiano dá pra concluir quantos pontos há de intersecção entre os dois gráficos que é exatamente os pontos em comum das equações

Grande abraço,
Prof. Caju

Bom dia! Obrigada pela resolução, @cajuADMIN.
Eu sempre me confundo quando preciso usar módulo, tenho que ficar mais atenta em relaçao a isso.
Por acaso, Prof. Caju, teria como você me mostrar como que seria a resolução correta desse exercício seguindo a mesma linha de racíocinio da minha resolução? Fazendo um favor.

[petrasMOD]

@IasminSS

Substitua "y" na primeira equação e não precisará usar o módulo

[IasminSS]

@IasminSS

Substitua "y" na primeira equação e não precisará usar o módulo

Obrigada!

[cajuADMIN]

Olá, @IasminSS

Continuar a sua resolução acho que vai dar uma quantidade muito grande de cálculos, mas tem que dar certo também! Pois, se aplicarmos todas propriedades corretamente, tem que chegar no mesmo resultado sempre.

Depois de isolar [tex3]|y|[/tex3], não podemos igualar diretamente as duas equações pois uma delas é [tex3]y[/tex3] e a outra é [tex3]|y|[/tex3]. Para igualar, temos que pensar na definição de módulo, que é [tex3]|y|=\begin{cases} y,&\text{se }y\ge 0\\-y,&\text{se }y<0\end{cases}[/tex3].

Ou seja, para igualar uma equação à outra, teremos que separar nesses dois casos (já começa a crescer a quantidade de cálculos... mas não está errado).

Daí, quando igualamos cada caso, teremos que elevar ao quadrado para eliminar a raiz, e vamos cair em outro MÓDULO (pois raiz de um número ao quadrado resulta módulo). E esse módulo vai nos fazer dividir em dois casos cada caso que já dividimos. Assim, já temos 4 cálculos diferentes para fazer....

Deu pra ver que cada módulo que inserirmos, se não conseguirmos eliminá-lo por propriedades numéricas (por exemplo, se o modulando for, garantidamente, positivo), irá dobrar a quantidade de cálculos a serem realizados... o negócio é FUGIR de módulos, e usá-los sempre como segunda opção, quando já exaurimos todas as outras opções de técnicas.

Grande abraço,
Prof. Caju

[IasminSS]

Olá, @IasminSS

Continuar a sua resolução acho que vai dar uma quantidade muito grande de cálculos, mas tem que dar certo também! Pois, se aplicarmos todas propriedades corretamente, tem que chegar no mesmo resultado sempre.

Depois de isolar [tex3]|y|[/tex3], não podemos igualar diretamente as duas equações pois uma delas é [tex3]y[/tex3] e a outra é [tex3]|y|[/tex3]. Para igualar, temos que pensar na definição de módulo, que é [tex3]|y|=\begin{cases} y,&\text{se }y\ge 0\\-y,&\text{se }y<0\end{cases}[/tex3].

Ou seja, para igualar uma equação à outra, teremos que separar nesses dois casos (já começa a crescer a quantidade de cálculos... mas não está errado).

Daí, quando igualamos cada caso, teremos que elevar ao quadrado para eliminar a raiz, e vamos cair em outro MÓDULO (pois raiz de um número ao quadrado resulta módulo). E esse módulo vai nos fazer dividir em dois casos cada caso que já dividimos. Assim, já temos 4 cálculos diferentes para fazer....

Deu pra ver que cada módulo que inserirmos, se não conseguirmos eliminá-lo por propriedades numéricas (por exemplo, se o modulando for, garantidamente, positivo), irá dobrar a quantidade de cálculos a serem realizados... o negócio é FUGIR de módulos, e usá-los sempre como segunda opção, quando já exaurimos todas as outras opções de técnicas.

Grande abraço,
Prof. Caju

Boa tarde, @cajuADMIN! Quando eu resolvo esse problema seguindo a dica dada pelo @petrasMOD, fica da seguinte forma:

[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=4 \\
y=-x^2-2
\end{cases}[/tex3]

Substituindo a segunda equação na primeira:
[tex3]x^2+(-x^2)^2+2(-x^2)(-2)+(-2)^2=4\rightarrow x^2+x^4+4x^2+4=4\rightarrow x^4+5x^2=0[/tex3].

* Vou definir que [tex3]x^2=t[/tex3], assim sendo, [tex3]x^4=t^2[/tex3]. Substituindo:
se [tex3]x^2=t\rightarrow x^2=0\rightarrow x=0.[/tex3]
se [tex3]x^2=-5\rightarrow[/tex3] impossível nos [tex3]\mathbb{R}[/tex3].
Então, [tex3]S=(0)[/tex3]. Isso significa que as equações possuem apenas um ponto em comum, portanto, a alternativa correta é a letra (B).

Está correto?

[cajuADMIN]

Perfeito, @IasminSS. Está corretíssima sua resolução.

Só pra visualizar, os gráficos ficariam assim:

https://www.desmos.com/calculator/tr0rtqqfsh

Veja que há somente um ponto em comum nos dois gráficos (círculo e parábola).

Grande abraço,
Prof. Caju

[IasminSS]

Perfeito, @IasminSS. Está corretíssima sua resolução.

Só pra visualizar, os gráficos ficariam assim:

https://www.desmos.com/calculator/tr0rtqqfsh

Veja que há somente um ponto em comum nos dois gráficos (círculo e parábola).

Grande abraço,
Prof. Caju

Obrigada, @cajuADMIN.

[ProfLaplace]

IasminSS, só quero trazer algumas observações finais.

Primeiramente que vc pode facilitar sua resolução da seguinte forma:
[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=4 \\
-x^2-2=y
\end{cases}[/tex3]
Some as equações para obter [tex3]y^2-2=4+y \Rightarrow y^2-y-6=0.[/tex3]
Por Bháskara, tem-se [tex3]y=-2[/tex3] ou [tex3]y=3.[/tex3]
Se [tex3]y=-2,[/tex3] temos [tex3]-x^2-2=-2 \Rightarrow x=0.[/tex3]
Se [tex3]y=3,[/tex3] temos [tex3]-x^2-2=3 \Rightarrow x^2=-5,[/tex3] equação esta que não possui soluções reais.
Logo a solução do sistema é [tex3]S=\{(0,-2)\}.[/tex3]
Resposta B.
Observe que fazendo assim vc evita cair em produto notável e também evita a equação de quarto grau.

Outro detalhe importante: na sua resolução, vc achou [tex3]x=0[/tex3] e parou por aí.
Só que vc deveria ter prosseguido para achar o [tex3]y[/tex3] também.
Até porque um mesmo valor de [tex3]x[/tex3] poderia dar mais de um [tex3]y[/tex3] correspondente!
Se, por exemplo, para [tex3]x=0[/tex3] tivéssemos dois valores de [tex3]y,[/tex3] haveria então 2 pontos de intersecção e a resposta seria C.
Então sempre finalize completamente a resolução do sistema, escrevendo a solução com todos os pares [tex3](x,y)[/tex3] entre chaves.