Ensino Fundamental ⇒ Sistemas do segundo grau.

[IasminSS]

CN 87 - O sistema
[tex3]\begin{cases}
x^2-\sqrt{5}x=8000 \\
0,001x-y=5000
\end{cases}[/tex3]
(A) tem apenas uma solução [tex3](x,y), x<0[/tex3] e [tex3]y<0[/tex3].
(B) tem apenas uma solução [tex3](x,y), x>0[/tex3] e [tex3]y<0[/tex3].
(C) tem apenas uma solução [tex3](x,y), x<0[/tex3] e [tex3]y>0[/tex3].
(D) tem duas soluções.
(E) não tem soluções.

Resposta

---

(C) tem apenas uma solução [tex3](x,y), x<0[/tex3] e [tex3]y>0[/tex3]

[petrasMOD]

Creio que o gabarito está errado,,,
[tex3]x^2 - \sqrt{5}x - 8000 = 0\\
\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{5})^2 - 4(1)(-8000)= 3200[/tex3]
[tex3]\Delta > 0[/tex3], a equação possui duas raízes reais distintas para x.
Pelas relações de Girard :
Soma [tex3](x_1 + x_2): -b/a = \sqrt{5}[/tex3] (Positiva)
Produto [tex3](x_1 \cdot x_2): c/a = -8000[/tex3] (Negativa)
Se o produto é negativo, as raízes têm sinais opostos: uma é positiva (x > 0) e a outra é negativa (x < 0).

y = 0,001x - 5000
Para cada valor de x encontrado na primeira equação, existirá exatamente um valor correspondente de y. Portanto, o sistema tem duas soluções
Como a primeira equação nos dá dois valores possíveis para x, e a segunda equação vincula cada x a um único y, o sistema possui duas soluções distintas.

Resposta correta: (D) tem duas soluções.

[petrasMOD]

@IasminSS

O enunciado está incorreto.. No original seria

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e o gabarito seria a alternativa E).

Da segunda equação,y = 0,001x - 5000
Substituímos na primeira equação:[tex3]x^2 - \sqrt{5}(0,001x - 5000) = 8000\\x^2 - 0,001\sqrt{5}x + 5000\sqrt{5} = 8000\\x^2 - (0,001\sqrt{5})x + (5000\sqrt{5} - 8000) = 0. [/tex3]
[tex3] \Delta = b^2 - 4a= (-0,001\sqrt{5})^2 - 4(1)(5000,\sqrt5) \implies \Delta < 0 [/tex3]
Como o discriminante é menor que zero, a equação do segundo grau não possui raízes reais para x. Consequentemente, não existem pares reais (x, y) que satisfaçam o sistema.