Colégio Naval 1975 ⇒ Questão 04 - CN - 1975 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Calcular a soma dos termos da maior fração própria irredutível, para que o produto de seus termos seja 60.
a) 17 b) 23 c) 32 d) 61 e) 19

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[Kin07]

Resolução:

Uma fração própria irredutível é uma fração em que o numerador é menor que o denominador e os dois têm apenas 1 como divisor comum.

Para encontrar a maior fração própria irredutível cujo produto dos termos seja 60, precisamos identificar todos os pares de números inteiros positivos (x, y) tais que x < y e [tex3] \displaystyle \sf x \cdot y = 60 [/tex3]. Além disso, a fração [tex3] \displaystyle \sf \dfrac{x}{y} [/tex3] deve ser irredutível.

Decompondo 60 em fatores primo:
[tex3] \displaystyle \sf \begin{array}{r|l}
\sf 60 & \sf2\\
\sf 30 & \sf 2\\
\sf 15 & \sf 3\\
\sf 5 & \sf 5 \\
1
\end{array} [/tex3]

Logo, o número 60 possui [tex3] \displaystyle \sf (2+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = \colorbox{#F4C430}{$ \sf 12 \, divisores $ } [/tex3]

Os divisores de 60 são: [tex3]\displaystyle \sf D(60) = \{ 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 \} [/tex3]

Listando todos os pares (a, b), tal que [tex3] \displaystyle \sf a \times b = 60[/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf 1 \times 60 = 60 \to mdc(1,60) = 1 \; \checkmark [/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf 2 \times 30 = 60\to mdc(2,30) = 2 \; false [/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf 3 \times 20 = 60 \to mdc(3,20) = 1 \; \checkmark [/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf 4 \times 15 = 60 \to mdc(4,15) = 1 \; \checkmark [/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf 5 \times 12 = 60 \to mdc(5,12) = 1 \; \checkmark [/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf 6 \times 10 = 60 \to mdc(6,10) = 2 \; não [/tex3]

Escolhendo a maior fração:
[tex3] \displaystyle \sf \dfrac{1}{60} < \dfrac{3}{20} < \dfrac{4}{15} < \dfrac{5}{5}[/tex3]

A maior fração própria irredutível com produto dos termos igual a 60 é [tex3] \displaystyle \sf \colorbox{#FFD800}{$ \sf \dfrac{5}{5} $} [/tex3]

\text{Soma dos termos} [tex3] \displaystyle \sf \colorbox{#F94D00}{$ \sf 5+12= 17 $} [/tex3]

A resposta correta é a letra A.