Colégio Naval 1977 ⇒ Questão 11 - CN - 1977 Tópico resolvido

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A área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência tem 600cm2. A área do hexágono regular inscrito na mesma circunferência medirá :
a) 1200cm² b) 450cm² c) 600 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm² d) 800[tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm² e) 1000 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm²

[petrasMOD]

A área do triângulo equilátero é dada por [tex3]A_{t}=\frac{L_{t}^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex3], onde [tex3]L_{t}[/tex3] é o lado do triângulo.
O lado do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio R é dado por [tex3]L_{t}=R\sqrt{3}[/tex3].
[tex3]A_{t}=\frac{(R\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}.[/tex3]

A equação[tex3] \frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}=600[/tex3]
[tex3]3R^{2}\sqrt{3}=2400, \rightarrow R^{2}\sqrt{3}=800 \therefore R^{2}=\frac{800}{\sqrt{3}}. [/tex3]

A área do hexágono regular [tex3]A_{h}[/tex3] inscrito na mesma circunferência é composta por seis triângulos equiláteros de lado igual ao raio R. A área de cada um desses seis triângulos é [tex3]\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}.[/tex3]
A área total do hexágono é [tex3]A_{h}=6\times \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{2}[/tex3].
A relação entre a área do hexágono e a área do triângulo é[tex3]A_{h}=2\times A_{t}.[/tex3]
A área do hexágono é calculada usando a área do triângulo fornecida:[tex3] A_{h}=2\times600\text{cm}^{2}=\boxed{1200\text{cm}^{2}_{//}}.[/tex3]