Colégio Naval 1979 ⇒ Questão 12 - CN - 1979 Tópico resolvido

[petrasMOD]

12) No triângulo ABC, AB = 12 e AC = 8. A bissetriz interna do ângulo em A corta o lado BC em D e a bissetriz externa do mesmo ângulo corta o prolongamento do lado BC em E. A razão da área do triângulo ACE para a área do triângulo ABD é:
a) [tex3]\frac{8}{3}[/tex3] b) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] c) [tex3]\frac{4}{9}[/tex3] d) [tex3]\frac{10}{3}[/tex3] e) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

[petrasMOD]

c = AB = 12 e b = AC = 8.
Teorema da Bissetriz Interna (D): [tex3]\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]BD = 3k~ e~ CD = 2k[/tex3].

Teorema da Bissetriz Externa (E):[tex3] \frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}[/tex3]
Como BE = BC + CE, e sabemos que BC = BD + CD = 5k:
[tex3]\frac{5k + CE}{CE} = \frac{3}{2} \implies 10k + 2CE = 3CE \implies CE = 10k[/tex3].

Todos os triângulos com base sobre a reta BE e vértice em A compartilham a mesma altura (h) relativa a essa base.

A área de qualquer um desses triângulos é proporcional ao comprimento de sua base.
[tex3](S_{ABD} = \frac{BD \cdot h}{2} = \frac{3k \cdot h}{2}\\
S_{ACE} = \frac{CE \cdot h}{2} = \frac{10k \cdot h}{2}[/tex3]
[tex3]{Razão} = \frac{S_{ACE}}{S_{ABD}} = \frac{\frac{10k \cdot h}{2}}{\frac{3k \cdot h}{2}} = \boxed{\frac{10}{3}}_{//}[/tex3]