Colégio Naval 1980 ⇒ Questão 12 - CN - 1980 Tópico resolvido

[petrasMOD]

12) Sendo X = {-3, -[tex3]\sqrt{2}[/tex3] , -2, -1, 1} será vazio o conjunto:
a) {x ∈ X | [tex3]\sqrt{2 \sqrt{x^2 −1}} = {\sqrt2 } [/tex3]
b) {x ∈ X | x² > 1 e x < -2}
c) {x ∈ X | x² + x = x³ + x}
d) {x ∈ X | x - [tex3]\sqrt{x + 2}[/tex3] = 0}
e) {x ∈ X | [tex3]\frac{x^2+5}{-x+2} > 0 [/tex3]

[petrasMOD]

a) l [tex3]\{x \in X \mid \sqrt{2}\sqrt{x^2-1} = \sqrt{2}\} \implies\sqrt{ x^2 - 1 }= 1 \implies x^2 = 2
\therefore x = \sqrt{2}~ ou~ x = -\sqrt{2}.[/tex3]
Como [tex3]-\sqrt{2}[/tex3] pertence ao conjunto X, este conjunto NÃO é vazio.

b) [tex3]\{x \in X \mid x^2 > 1 \text{ e } x < -2\} [/tex3]
x² > 1: Em X, os valores que satisfazem são [tex3] {-3, -\sqrt{2}, -2}[/tex3]. .
x < -2: Em X, o único valor menor que -2 é o -3.O elemento -3 satisfaz ambas as condições.Conclusão: NÃO é vazio.

c)[tex3] \{x \in X \mid x^2 + x = x^3 + x\} \implies x^2 = x^3[/tex3]. A única solução possível em X é x = 1.
Conclusão: NÃO é vazio.

d) [tex3]\{x \in X \mid x - \sqrt{x+2} = 0\}[/tex3]
Vamos testar os elementos:
x > -2 portanto -3 não serve
Para [tex3]x = -2: -2 - \sqrt{-2+2} = -2 - 0 = -2 \neq 0[/tex3].
Para [tex3]x = -\sqrt{2}: -\sqrt{2} - \sqrt{-\sqrt{2}+2} \approx -1,41 - 0,76 \neq 0[/tex3].
Para x = -1: [tex3]- 1 - \sqrt{-1+2} = -2 \neq 0.[/tex3]
Para [tex3]x = 1: 1 - \sqrt{1+2} = 1 - \sqrt{3} \neq 0.[/tex3]
Nenhum valor de X satisfaz essa igualdade.
Conclusão: O conjunto é VAZIO.

e) [tex3]{x \in X \mid \frac{x^2+5}{-x+2} > 0}[/tex3]
Como x²+5 é sempre positivo, a inequação depende de -x+2 > 0, ou seja, x < 2
Todos os elementos de X ({-3, -[tex3]\sqrt{2}[/tex3], -2, -1, 1}) são menores que 2.
Conclusão: NÃO é vazio (contém todos os elementos de X).